Brahmaguptas formel beskriver ett samband mellan arean för en godtycklig cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan skrivas in i en cirkel) och dess sidor. Formeln formulerades ursprungligen av den indiska matematikern Brahmagupta under 600-talet, dock utan bevis.[ 1] [ 1]
Brahmaguptas formel för en cyklisk fyrhörning med arean A och sidorna a, b, c, d skrivs vanligen
A
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
där
s
≡
a
+
b
+
c
+
d
2
{\displaystyle s\equiv {\frac {a+b+c+d}{2}}}
är semiperimetern (halva omkretsen).
Formeln kan dock skrivas utan semiperimetern på ekvivalent form
A
=
1
4
(
−
a
+
b
+
c
+
d
)
(
a
−
b
+
c
+
d
)
(
a
+
b
−
c
+
d
)
(
a
+
b
+
c
−
d
)
.
{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}.}
Vilket även kan skrivas
A
=
1
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
)
2
+
8
a
b
c
d
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
+
d
4
)
.
{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}.}
Ett liknande samband existerar för en godtycklig triangel (alla trianglar är cykliska) som kallas Herons formel . Genom att låta en av sidorna i en fyrhörning vara noll bildas en triangel. Sätts en av sidorna till noll i Brahmaguptas formel erhålls Herons formel. Brahmaguptas formel kan ses som en generalisering av Herons formel.[ 1]
Bevis med trigonometriska samband
redigera
En cyklisk fyrhörning inskriven i en cirkel med beteckningar för hörn, sidor och vinklar I beviset används beteckningar från figuren till höger.
Den cykliska fyrhörningen ABCD kan delas upp i två trianglar, ABD och BDC , vars areor enligt areasatsen ges av
A
r
e
a
A
B
D
=
1
2
b
c
sin
α
{\displaystyle Area_{ABD}={\frac {1}{2}}bc\sin {\alpha }}
A
r
e
a
B
D
C
=
1
2
a
d
sin
γ
{\displaystyle Area_{BDC}={\frac {1}{2}}ad\sin {\gamma }}
Alltså ges den cykliska fyrhörningens area, A , av
A
=
1
2
a
d
sin
γ
+
1
2
b
c
sin
α
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}ad\sin {\gamma }+{\frac {1}{2}}bc\sin {\alpha }}
Eftersom fyrhörningen är cyklisk gäller
α
+
γ
=
π
⇔
γ
=
π
−
α
{\displaystyle \alpha +\gamma =\pi \Leftrightarrow \gamma =\pi -\alpha }
trigonometrisk identitet medför att
sin
α
=
sin
γ
{\displaystyle \sin \alpha =\sin \gamma }
A
=
1
2
a
d
sin
α
+
1
2
b
c
sin
α
=
1
2
(
a
d
+
b
c
)
sin
α
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}ad\sin {\alpha }+{\frac {1}{2}}bc\sin {\alpha }={\frac {1}{2}}(ad+bc)\sin {\alpha }}
Kvadrering av båda led ger
A
2
=
1
4
(
a
d
+
b
c
)
2
sin
2
α
{\displaystyle A^{2}={\frac {1}{4}}(ad+bc)^{2}\sin ^{2}{\alpha }}
Detta kan med hjälp av trigonometriska ettan skrivas
4
A
2
=
(
a
d
+
b
c
)
2
(
1
−
cos
2
α
)
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
(
a
d
+
b
c
)
2
cos
2
α
(
∗
)
{\displaystyle 4A^{2}=(ad+bc)^{2}(1-\cos ^{2}{\alpha })=(ad+bc)^{2}-(ad+bc)^{2}\cos ^{2}{\alpha }\quad (*)}
Trianglarna ABD och BDC har en gemensam sida DB . Enligt cosinussatsen gäller
D
B
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
{\displaystyle DB^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\alpha }}
D
B
2
=
a
2
+
d
2
−
2
a
d
cos
γ
{\displaystyle DB^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos {\gamma }}
Dessa likheter ger sambandet
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
=
a
2
+
d
2
−
2
a
d
cos
γ
.
{\displaystyle b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\alpha }=a^{2}+d^{2}-2ad\cos {\gamma }.}
Eftersom
γ
=
π
−
α
{\displaystyle \gamma =\pi -\alpha }
cos
γ
=
−
cos
α
{\displaystyle \cos {\gamma }=-\cos {\alpha }}
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
=
a
2
+
d
2
+
2
a
d
cos
α
{\displaystyle b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\alpha }=a^{2}+d^{2}+2ad\cos {\alpha }}
Vilket kan skrivas som
2
a
d
cos
α
+
2
b
c
cos
α
=
b
2
+
c
2
−
a
2
−
d
2
{\displaystyle 2ad\cos {\alpha }+2bc\cos {\alpha }=b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}
Faktorisering i vänsterledet ger
2
(
a
d
+
b
c
)
cos
α
=
b
2
+
c
2
−
a
2
−
d
2
{\displaystyle 2(ad+bc)\cos {\alpha }=b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}
Kvadrering av båda led följt av division med 4 ger
(
a
d
+
b
c
)
2
cos
2
α
=
1
4
(
b
2
+
c
2
−
a
2
−
d
2
)
2
{\displaystyle (ad+bc)^{2}\cos ^{2}{\alpha }={\frac {1}{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}
Ovanstående samband insatt i
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
4
A
2
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
1
4
(
b
2
+
c
2
−
a
2
−
d
2
)
2
{\displaystyle 4A^{2}=(ad+bc)^{2}-{\frac {1}{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}
Multiplikation med 4 ger
16
A
2
=
4
(
a
d
+
b
c
)
2
−
(
b
2
+
c
2
−
a
2
−
d
2
)
2
{\displaystyle 16A^{2}=4(ad+bc)^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}
Högerledet kan med hjälp av konjugatregeln skrivas
16
A
2
=
(
2
(
a
d
+
b
c
)
−
b
2
−
c
2
+
a
2
+
d
2
)
(
2
(
a
d
+
b
c
)
+
b
2
+
c
2
−
a
2
−
d
2
)
{\displaystyle 16A^{2}=\left(2(ad+bc)-b^{2}-c^{2}+a^{2}+d^{2}\right)\!\left(2(ad+bc)+b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}\right)}
Utveckling av de inre parenteserna ger
16
A
2
=
(
a
2
+
2
a
d
+
d
2
−
(
b
2
−
2
b
c
+
c
2
)
)
(
b
2
+
2
b
c
+
c
2
−
(
a
2
−
2
a
d
+
d
2
)
)
{\displaystyle 16A^{2}=\left(a^{2}+2ad+d^{2}-(b^{2}-2bc+c^{2})\right)\!\left(b^{2}+2bc+c^{2}-(a^{2}-2ad+d^{2})\right)}
Vilken enligt kvadreringsregler kan skrivas
16
A
2
=
(
(
a
+
d
)
2
−
(
b
−
c
)
2
)
(
(
b
+
c
)
2
−
(
a
−
d
)
2
)
{\displaystyle 16A^{2}=\left((a+d)^{2}-(b-c)^{2}\right)\left((b+c)^{2}-(a-d)^{2}\right)}
Vilket enligt konjugatregeln kan skrivas
16
A
2
=
(
a
+
c
+
d
−
b
)
(
a
+
b
+
d
−
c
)
(
b
+
c
+
d
−
a
)
(
a
+
b
+
c
−
d
)
{\displaystyle 16A^{2}=(a+c+d-b)(a+b+d-c)(b+c+d-a)(a+b+c-d)}
Genom att subtrahera och addera termen med negativt tecken i varje faktor i högerledet fås
16
A
2
=
(
a
+
b
+
c
+
d
−
2
b
)
(
a
+
b
+
c
+
d
−
2
c
)
(
a
+
b
+
c
+
d
−
2
a
)
(
a
+
b
+
c
+
d
−
2
d
)
{\displaystyle 16A^{2}=(a+b+c+d-2b)(a+b+c+d-2c)(a+b+c+d-2a)(a+b+c+d-2d)}
Genom att bryta ut 2 ur varje faktor i högerledet fås
16
A
2
=
16
(
a
+
b
+
c
+
d
2
−
b
)
(
a
+
b
+
c
+
d
2
−
c
)
(
a
+
b
+
c
+
d
2
−
a
)
(
a
+
b
+
c
+
d
2
−
d
)
{\displaystyle 16A^{2}=16\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-b\right)\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-c\right)\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-a\right)\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-d\right)}
Division med 16 ger
A
2
=
(
a
+
b
+
c
+
d
2
−
b
)
(
a
+
b
+
c
+
d
2
−
c
)
(
a
+
b
+
c
+
d
2
−
a
)
(
a
+
b
+
c
+
d
2
−
d
)
{\displaystyle A^{2}=\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-b\right)\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-c\right)\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-a\right)\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-d\right)}
Introduceras nu semiperimetern ,
s
≡
(
a
+
b
+
c
+
d
)
/
2
{\displaystyle s\equiv (a+b+c+d)/2}
A
2
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle A^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
Roten ur ger slutligen
A
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
V.S.B.
Bevis utan trigonometriska samband
redigera
Formeln kan bevisas utan trigonometriska samband med hjälp av Herons formel och uppdelning i trianglar.[ 2]
