Brahmaguptas formel beskriver ett samband mellan arean för en godtycklig cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan skrivas in i en cirkel) och dess sidor. Formeln formulerades ursprungligen av den indiska matematikern Brahmagupta under 600-talet, dock utan bevis.[1] Formeln har sedan bevisats på flera olika sätt av olika matematiker. [1]

FormelRedigera

Brahmaguptas formel för en cyklisk fyrhörning med arean A och sidorna a, b, c, d skrivs vanligen

 

där

 

är semiperimetern (halva omkretsen).

Formeln kan dock skrivas utan semiperimetern på ekvivalent form

 

Vilket även kan skrivas

 

Ett liknande samband existerar för en godtycklig triangel (alla trianglar är cykliska) som kallas Herons formel. Genom att låta en av sidorna i en fyrhörning vara noll bildas en triangel. Sätts en av sidorna till noll i Brahmaguptas formel erhålls Herons formel. Brahmaguptas formel kan ses som en generalisering av Herons formel.[1]

BevisRedigera

Bevis med trigonometriska sambandRedigera

 
En cyklisk fyrhörning inskriven i en cirkel med beteckningar för hörn, sidor och vinklar

I beviset används beteckningar från figuren till höger.

Den cykliska fyrhörningen ABCD kan delas upp i två trianglar, ABD och BDC, vars areor enligt areasatsen ges av

 
 

Alltså ges den cykliska fyrhörningens area, A, av

 

Eftersom fyrhörningen är cyklisk gäller  , vilket enligt en trigonometrisk identitet medför att  . Alltså gäller

 

Kvadrering av båda led ger

 

Detta kan med hjälp av trigonometriska ettan skrivas

 

Trianglarna ABD och BDC har en gemensam sida DB. Enligt cosinussatsen gäller

 
 

Dessa likheter ger sambandet

 

Eftersom   gäller enligt en trigonometrisk identitet att  , vilket ger sambandet

 

Vilket kan skrivas som

 

Faktorisering i vänsterledet ger

 

Kvadrering av båda led följt av division med 4 ger

 

Ovanstående samband insatt i   ger

 

Multiplikation med 4 ger

 

Högerledet kan med hjälp av konjugatregeln skrivas

 

Utveckling av de inre parenteserna ger

 

Vilken enligt kvadreringsregler kan skrivas

 

Vilket enligt konjugatregeln kan skrivas

 

Genom att subtrahera och addera termen med negativt tecken i varje faktor i högerledet fås

 

Genom att bryta ut 2 ur varje faktor i högerledet fås

 

Division med 16 ger

 

Introduceras nu semiperimetern,  , erhålls

 

Roten ur ger slutligen

 

V.S.B.

Bevis utan trigonometriska sambandRedigera

Formeln kan bevisas utan trigonometriska samband med hjälp av Herons formel och uppdelning i trianglar.[2]

GeneraliseringRedigera

Brahmaguptas formel kan generaliseras till att gälla även för konvexa icke-cykliska fyrhörningar enligt[1]

 

där   och   är motstående vinklar. Denna formel kallas Bretschneiders formel och Brahmaguptas formel är specialfallet för cykliska fyrhörningar vilket ger   som innebär att cosinustermen blir noll.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

NoterRedigera

  1. ^ [a b c d] Atzema, Eisso J. (2015-01-02). ”From Brahmagupta to Euler: on the formula for the area of a cyclic quadrilateral”. BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics 30 (1): sid. 20–34. doi:10.1080/17498430.2014.942818. ISSN 1749-8430. http://dx.doi.org/10.1080/17498430.2014.942818. 
  2. ^ Fischbein, Kala; Brooks, Tammy (22 juli 1997). ”Brahmagupta's Formula”. http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Class/Brooks/Brahmagupta/Brahmagupta.html. Läst 15 maj 2015. 
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.