Lista över trigonometriska identiteter är en lista av ekvationer som involverar trigonometriska funktioner och som är sanna för varje enskilt värde av de förekommande variablerna. De skiljer sig från triangelidentiteter, vilka är identiteter som potentiellt involverar vinklar, men även omfattar sidolängder eller andra längder i en triangel. Endast de förstnämnda behandlas i denna artikel.
Identiteterna är användbara när uttryck som involverar trigonometriska funktioner måste förenklas. En viktig tillämpning är integration av icke-trigonometriska funktioner: en vanlig teknik är att först göra en substitution med en trigonometrisk funktion och sedan förenkla resultatet med hjälp av en trigonometrisk identitet.
De trigonometriska funktionerna för en vinkel θ kan konstrueras geometriskt med hjälp av en enhetscirkel
sin
2
(
x
)
+
cos
2
(
x
)
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}
sin
(
x
)
=
±
1
−
cos
2
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}
cos
(
x
)
=
±
1
−
sin
2
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}
1
+
tan
2
θ
=
sec
2
θ
{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }
1
+
cot
2
θ
=
csc
2
θ
{\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }
sin
(
2
x
)
=
2
sin
(
x
)
cos
(
x
)
cos
(
2
x
)
=
cos
2
(
x
)
−
sin
2
(
x
)
=
=
2
cos
2
(
x
)
−
1
=
=
1
−
2
sin
2
(
x
)
tan
(
2
x
)
=
2
tan
(
x
)
1
−
tan
2
(
x
)
cot
(
2
x
)
=
cot
(
x
)
−
tan
(
x
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2x)&=2\sin(x)\cos(x)\\\cos(2x)&=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=\\&=2\cos ^{2}(x)-1=\\&=1-2\sin ^{2}(x)\\\tan(2x)&={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}\\\cot(2x)&={\frac {\cot(x)-\tan(x)}{2}}\\\end{aligned}}}
sin
(
3
x
)
=
3
sin
(
x
)
−
4
sin
3
(
x
)
cos
(
3
x
)
=
4
cos
3
(
x
)
−
3
cos
(
x
)
tan
(
3
x
)
=
3
tan
(
x
)
−
tan
3
(
x
)
1
−
3
tan
2
(
x
)
cot
(
3
x
)
=
cot
3
(
x
)
−
3
cot
(
x
)
3
cot
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3x)&=3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)\\\cos(3x)&=4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)\\\tan(3x)&={\frac {3\tan(x)-\tan ^{3}(x)}{1-3\tan ^{2}(x)}}\\\cot(3x)&={\frac {\cot ^{3}(x)-3\cot(x)}{3\cot ^{2}(x)-1}}\\\end{aligned}}}
sin
2
(
x
2
)
=
1
−
cos
(
x
)
2
cos
2
(
x
2
)
=
1
+
cos
(
x
)
2
tan
(
x
2
)
=
sin
(
x
)
1
+
cos
(
x
)
=
=
1
−
cos
(
x
)
sin
(
x
)
tan
2
(
x
2
)
=
1
−
cos
(
x
)
1
+
cos
(
x
)
cot
(
x
2
)
=
sin
(
x
)
1
−
cos
(
x
)
=
=
1
+
cos
(
x
)
sin
(
x
)
cot
2
(
x
2
)
=
1
+
cos
(
x
)
1
−
cos
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {1-\cos(x)}{2}}\\\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {1+\cos(x)}{2}}\\\tan \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}&=\\&={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}\\\tan ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}\\\cot \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sin(x)}{1-\cos(x)}}&=\\&={\frac {1+\cos(x)}{\sin(x)}}\\\cot ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {1+\cos(x)}{1-\cos(x)}}\\\end{aligned}}}
sin
2
θ
=
1
−
cos
2
θ
2
{\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}}
cos
2
θ
=
1
+
cos
2
θ
2
{\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}}
sin
2
θ
cos
2
θ
=
1
−
cos
4
θ
8
{\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}}
sin
3
θ
=
3
sin
θ
−
sin
3
θ
4
{\displaystyle \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}}}
cos
3
θ
=
3
cos
θ
+
cos
3
θ
4
{\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}}
sin
3
θ
cos
3
θ
=
3
sin
2
θ
−
sin
6
θ
32
{\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}}}
sin
4
θ
=
3
−
4
cos
2
θ
+
cos
4
θ
8
{\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}}
cos
4
θ
=
3
+
4
cos
2
θ
+
cos
4
θ
8
{\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}}
sin
4
θ
cos
4
θ
=
3
−
4
cos
4
θ
+
cos
8
θ
128
{\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}}
sin
5
θ
=
10
sin
θ
−
5
sin
3
θ
+
sin
5
θ
16
{\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}}}
cos
5
θ
=
10
cos
θ
+
5
cos
3
θ
+
cos
5
θ
16
{\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}}
sin
5
θ
cos
5
θ
=
10
sin
2
θ
−
5
sin
6
θ
+
sin
10
θ
512
{\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}}}
sin
(
arcsin
(
x
)
)
=
x
cos
(
arccos
(
x
)
)
=
x
tan
(
arctan
(
x
)
)
=
x
cot
(
arccot
(
x
)
)
=
x
sec
(
arcsec
(
x
)
)
=
x
csc
(
arccsc
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arcsin(x))&=x&\quad \cos(\arccos(x))&=x\\\tan(\arctan(x))&=x&\quad \cot(\operatorname {arccot}(x))&=x\\\sec(\operatorname {arcsec}(x))&=x&\quad \csc(\operatorname {arccsc}(x))&=x\\\end{aligned}}}
arcsin
(
sin
(
x
)
)
=
x
,
för
−
π
/
2
≤
x
≤
π
/
2
arccos
(
cos
(
x
)
)
=
x
,
för
0
≤
x
≤
π
arctan
(
tan
(
x
)
)
=
x
,
för
−
π
/
2
<
x
<
π
/
2
arccot
(
cot
(
x
)
)
=
x
,
för
0
<
x
<
π
arcsec
(
sec
(
x
)
)
=
x
,
för
0
≤
x
<
π
/
2
eller
π
/
2
<
x
≤
π
arccsc
(
csc
(
x
)
)
=
x
,
för
−
π
/
2
≤
x
<
0
eller
0
<
x
≤
π
/
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(\sin(x))&=x,{\mbox{ för }}-\pi /2\leq x\leq \pi /2\\\arccos(\cos(x))&=x,{\mbox{ för }}0\leq x\leq \pi \\\arctan(\tan(x))&=x,{\mbox{ för }}-\pi /2<x<\pi /2\\\operatorname {arccot}(\cot(x))&=x,{\mbox{ för }}0<x<\pi \\\operatorname {arcsec}(\sec(x))&=x,{\mbox{ för }}0\leq x<\pi /2{\mbox{ eller }}\pi /2<x\leq \pi \\\operatorname {arccsc}(\csc(x))&=x,{\mbox{ för }}-\pi /2\leq x<0{\mbox{ eller }}0<x\leq \pi /2\\\end{aligned}}}
arccos
(
x
)
=
π
2
−
arcsin
(
x
)
arccot
(
x
)
=
π
2
−
arctan
(
x
)
arccsc
(
x
)
=
π
2
−
arcsec
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\\\end{aligned}}}
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
(
x
)
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
(
x
)
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
(
x
)
arccot
(
−
x
)
=
π
−
arccot
(
x
)
arcsec
(
−
x
)
=
π
−
arcsec
(
x
)
arccsc
(
−
x
)
=
−
arccsc
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\end{aligned}}}
arccos
1
x
=
arcsec
(
x
)
arcsin
1
x
=
arccsc
(
x
)
arctan
1
x
=
π
2
−
arctan
(
x
)
=
arccot
(
x
)
,
om
x
>
0
arctan
1
x
=
−
π
2
−
arctan
(
x
)
=
−
π
+
arccot
(
x
)
,
om
x
<
0
arccot
1
x
=
π
2
−
arccot
(
x
)
=
arctan
(
x
)
,
om
x
>
0
arccot
1
x
=
3
π
2
−
arccot
(
x
)
=
π
+
arctan
(
x
)
,
om
x
<
0
arcsec
1
x
=
arccos
(
x
)
arccsc
1
x
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos {\frac {1}{x}}&=\operatorname {arcsec}(x)\\\arcsin {\frac {1}{x}}&=\operatorname {arccsc}(x)\\\arctan {\frac {1}{x}}&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x),{\text{ om }}x>0\\\arctan {\frac {1}{x}}&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=-\pi +\operatorname {arccot}(x),{\text{ om }}x<0\\\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x),{\text{ om }}x>0\\\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x),{\text{ om }}x<0\\\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}&=\arccos(x)\\\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}&=\arcsin(x)\\\end{aligned}}}
arcsin
α
±
arcsin
β
=
arcsin
(
α
1
−
β
2
±
β
1
−
α
2
)
arccos
α
±
arccos
β
=
arccos
(
α
β
∓
(
1
−
α
2
)
(
1
−
β
2
)
)
arctan
α
±
arctan
β
=
arctan
(
α
±
β
1
∓
α
β
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta &=\arcsin \left(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}}\right)\\\arccos \alpha \pm \arccos \beta &=\arccos \left(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}}\right)\\\arctan \alpha \pm \arctan \beta &=\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)\end{aligned}}}
