Öppna huvudmenyn

Kvantmekanisk beskrivningRedigera

Den tidsoberoende, icke-relativistiska hamiltonoperatorn för ett vätelikt system består av den kinetiska energioperatorn och Coulombväxelverkan mellan den positivt laddade atomkärnan med laddningen   och den negativt laddade elektronen. Om vi ignorerar eventuell inverkan från spinn och använder den reducerade massan  , kan detta skrivas:

 

som i sfäriska koordinater blir:

 

LösningRedigera

Denna partiella differentialekvation kan lösas med variabelseparation.

 

Genom att sätta Z=1 (en proton för t. ex. väte), kan den normaliserade stationära rumsberoende delen av vågfunktionen, given i sfäriska koordinater, uttryckas som:  

där:

 ,
  är Bohrradien,
  är generaliserade Laguerrepolynom av grad n − 1, och
  är klotytefunktioner av grad och ordning m.

EnergierRedigera

Energinivåerna för denna icke-relativistiska väteatom i vakuum ges av

 

KvanttalRedigera

Kvanttalen n, och m kan anta följande värden:

 
 
 

OrbitalerRedigera

 
Strukturer hos orbitaler.
Huvudartikel: Atomorbital

De stationära lösningarna till Schrödingerekvationen för väteatomen

 

kallas atomorbitaler och definieras av värdena på kvanttalen n, , och m, som motsvarar elektronens huvudenerginivå, rörelsemängdsmoment och röreselmängdsmomentets vektorkomponent (det magnetiska kvanttalet). Varje orbital kan ockuperas av två elektroner med olika spinnkvanttal s (spinn upp och ner).

Dessa orbitaler betecknas ofta utifrån värdet på kvanttalet , som s-orbital, p-orbital, d-orbital och f-orbital som betecknar orbitaler med = 0, 1, 2 och 3. Dessa namn, tillsammans med värdet på n, används för att beskriva elektronkonfigurationer hos atomer. De härstammar från hur man tidigt beskrev spektrallinjer från alkalimetaller som sharp, principal, diffuse, och fundamental. Orbitaler med > 3 namnges sedan i alfabetisk ordning (undantaget j), alltså (g, h, i, k, …). Till exempel betecknas grundtillståndet för väteatomen 1s eftersom n=1, ℓ=0 och m=0.

Orbitaler i fleratomiga system, kallas ofta för molekylorbitaler och är superpositioner av väteatomens orbitaler.

Lösning i p-rummetRedigera

Vågfunktionen i p-rummet (rörelsemängdsrummet) kan fås som Fouriertransformen av vågfunktionen i positionsrummet

 

vilket ger [1]

 

där   är Gegenbauerpolynom och   är i enheter av  .

ReferenserRedigera

  • Sakurai, J.J. & Napolitano, Jim (2011). Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley, Second Edition
  • Bransden, B.H & Joachain, C.J (2003). Physics of Atom and Molecules. Pearson Education Limited, Second edition.
  • Haken, H. & Wolf, H.C. (1983). Atomic and Quantum Physics. Springer Verlag.
  • Robinett, Richard W. (2006), Quantum Mechanics. Oxford University Press, Second edition.
  • Atkins, P.W. & Friedman, R.S. (1997). Molecular Quantum Mechanics. Oxford University Press, Third Edition

NoterRedigera

  1. ^ Bransden, B. H.; Joachain, C. J. (1983). ”Appendix 5”. Physics of Atoms and Molecules. Longman. ISBN 0-582-44401-2