Öppna huvudmenyn
Kvantmekanik

Teori:

Tolkning:

Persongalleri
Einstein | Schrödinger
Heisenberg | Dirac | Fermi
Bohr | Planck | Born

En kvantharmonisk oscillator är den kvantmekaniska motsvarigheten till den klassiska fysikens harmoniska oscillator. Det är ett system vars återdrivande kraft är proportionell mot avvikelsen från jämviktsläget. Det proportionella förhållandet mellan den återdrivande kraften och avvikelsen från jämviktsläget leder till en kvadratisk potential för systemet. Eftersom en godtycklig potential kan approximeras med en kvadratisk potential kring ett stabilt jämviktsläge är den harmoniska oscillatorn en av de viktigaste modellerna inom kvantmekaniken. Det är dessutom en av få modeller som har en exakt analytisk lösning.

Endimensionell oscillatorRedigera

HamiltonoperatorRedigera

Hamiltonoperatorn   för en partikel i en endimensionell potential   ges av

 

där   är partikelns massa och   är rörelsemängdsoperatorn. För en harmonisk oscillator med vinkelfrekvensen   gäller att potentialen ges av  , vilket tillsammans med det allmänna uttrycket för Hamiltonoperatorn ger

Hamiltonoperatorn för endimensionell harmonisk oscillator

 

Den första termen i Hamiltonoperatorn motsvarar partikelns kinetiska energi medan den andra termen motsvarar den potentiella energin, som för den harmoniska oscillatorn är kvadratiskt beroende av positionen. Uttrycket för energin är precis samma som för den klassiska harmoniska oscillatorn, men till skillnad från det klassiska fallet så kommuterar inte operatorerna   och   i kvantmekaniken. Istället uppfyller de den kanoniska kommutatorrelationen

Kanoniska kommutatorrelationen för   och  

 

Schrödingerekvationen och tidsutvecklingRedigera

Tidsutvecklingen av ett kvantsystems tillstånd   erhålls från Schrödingerekvationen:

 

En särskild typ av lösning ges på formen  . Ett sådant tillstånd har en väldefinierad energi   och kallas för ett egentillstånd till Hamiltonoperatorn eftersom Schrödingerekvationen reduceras till egenekvationen

 .

Lösningarna till denna tidsoberoende Schrödingerekvation ger de möjliga egentillstånden och egenenergierna. Varje annat tillstånd kan beskrivas som en superposition av egentillstånd eftersom egentillstånden spänner upp hela rummet av möjliga tillstånd.

Ofta projiceras kvanttillstånden på egentillstånden   till positionsoperatorn  . Detta ger partikelns vågfunktion

 .

Vågfunktionen beskriver partikelns rörelse, till exempel ges sannolikhetstätheten för att partikeln befinner sig vid position   av  .

Egentillstånd och egenenergierRedigera

   
Icke-normaliserade vågfunktioner (vänster) med tillhörande sannolikhetstätheter (höger) för de åtta lägsta egentillstånden.
 
En harmonisk oscillator enligt klassiska mekanik (A–B) och enligt kvantmekaniken (C–H). I A–B oscillerar partikeln fram och tillbaka. I C–H visas några av lösningarna till Schrödingerekvationen med position på den horisontella axeln och realdelen (blå) respektive imaginärdelen (röd) av vågfunktionen på den vertikala axeln. C–F utgör egentillstånd, medan G och H inte är egentillstånd. H är ett koherent tillstånd, ett tillstånd som approximerar en klassisk rörelsebana.

Genom att lösa den tidsoberoende Schrödingerekvationen med någon lämplig metod, till exempel en spektralmetod, kan egentillstånden och egenenergierna för den harmoniska oscillatorn erhållas. Egentillstånden ges av

Egentillstånden för harmoniska oscillatorn

 

där   betecknar de olika Hermitepolynomen som ges av

 .

De tillhörande egenenergierna ges av

Egenenergierna för harmoniska oscillatorn

 

Detta energispektrum är intressant av tre anledningar. För det första är energierna kvantiserade, vilket innebär att bara vissa diskreta energivärden är möjliga. Detta är ett allmänt fenomen hos kvantmekaniska system med instängda partiklar.

För det andra är avståndet mellan två energinivåer konstant, vilket är en viktig skillnad från till exempel Bohrs atommodell eller en partikel i låda.

För det tredje är den lägsta möjliga energin (energin som ges av  , även kallat grundtillståndet) inte lika med potentialens minimum, utan   ovan minimumet; detta kallas för nollpunktsenergi. På grund av nollpunktsenergin är positionen och rörelsemängden för oscillatorn i grundtillståndet inte fixerats så som är fallet för den klassiska oscillatorn. Detta är en följd av Heisenbergs osäkerhetsrelation som gäller för alla observabler som inte kommuterar. Nollpunktsenergin har betydande konsekvenser för kvantfältteori och kvantgravitation.

Notera att grundtillståndets sannolikhetstäthet är koncentrerad till  . Detta betyder att partikeln tillbringar största delen av sin tid i botten av potentialbrunnen, vilket förväntas av ett tillstånd med låg energi. När energin ökar kommer sannolikhetstätheten att koncentreras till de klassiska ”vändpunkterna”, där den potentiella energin är samma som tillståndets energi. Detta är konsistent med den klassiska harmoniska oscillatorn där partikeln tillbringar mest tid vid vändpunkterna. Korrespondensprincipen är därmed uppfylld. Så kallade koherenta tillstånd oscillerar på ett liknande sätt som klassiska objekt, så som illustrerat i figuren; de är inte egentillstånd till Hamiltonoperatorn.

StegoperatorerRedigera

Huvudartikel: Stegoperatorer

Metoden med stegoperatorer är ett enkelt sätt att erhålla egentillstånden och egenenergierna för den harmoniska oscillatorn. Metoden kan dessutom generaliseras till mer komplicerad problem inom kvantfältteori. Metoden bygger på användandet av stegoperatorer som definieras genom

Stegoperatorer

 

 

Omvänt kan operatorerna   och   uttryckas i termer av stegoperatorerna   och   som

 

 

Det följer direkt av definitionen av   och   och den kanoniska kommutatorrelationen att

Kanoniska kommutatorrelationen för   och  

 

Således kan Hamiltonoperatorn för den harmoniska oscillatorn skrivas om som

 

där nummeroperatorn   har införts.

Om   betecknar ett egentillstånd till   med egenvärdet   så gäller att

 

 

 

vilket innebär att   räknar antalet kvanta,   minskar antalet kvanta med ett och   ökar antalet kvanta med ett.

Givet ett egentillstånd   kan nya egentillstånd med lägre antal kvanta erhållas genom att applicera   upprepade gånger. Till slut är antalet kvanta lika med noll, vilket motsvarar egentillståndet med egenenergi  . Detta är grundtillståndet och brukar betecknas med  . Om   appliceras ytterligare gånger kommer inget nytt tillstånd att erhållas, det vill säga  .

Alla egentillstånd kan uttryckas i termer av grundtillståndet och  :

 

Vågfunktionerna erhålls genom att projicera tillstånden på  . För grundtillståndet gäller till exempel

 

Naturliga längd- och energiskalorRedigera

Beskrivningen av kvantharmoniska oscillatorn förenklas om längd- och energiskalorna görs dimensionslösa genom att normaliseras med lämpliga enheter. Om energin mäts i enheter av   och avstånd i enheten   så blir Hamiltonoperatorn

 

samtidigt som egenfunktionerna och egenenergierna ges av

 

 

där   betecknar Hermitepolynomen. I vissa fall är dessa naturliga längd- och energiskalor fördelaktiga eftersom det förenklar uttrycken. I andra sammanhang kan det vara fördelaktigt att skriva ut beroendet av   explicit.

FasrumslösningarRedigera

I fasrumsformuleringen av kvantmekaniken kan lösningarna till den kvantharmoniska oscillatorn ges på sluten form i flera olika representationer av kvasisannolikhetsfördelningen. Den mest använda är Wigners kvasisannolikhetsfördelning är

 

där

 

och   betecknar Laguerrepolynomen. Detta exempel visar hur Hermitepolynomen och Laguerrepolynomen är relaterade till varandra genom Wigner–Weyltransformen.

N-dimensionell oscillatorRedigera

Den  -dimensionella oscillatorn är en generalisering av den endimensionella. Istället för att beskriva partikelns läge med en enda koordinat   beskrivs den nu av   olika koordinater  . De kanoniska kommutatorrelationerna är

 

 

 

Hamiltonoperatorn ges då av

Hamiltonoperatorn för  -dimensionell harmonisk oscillator

 

Formen på Hamiltonoperatorn avslöjar att den  -dimensionella harmoniska oscillatorn är exakt samma sak som   stycken oberoende harmoniska oscillatorer med samma massa   och vinkelfrekvens  . Koordinaterna   kan ses som beskrivningar av   olika partiklar.

Lösningen till den  -dimensionella kvantharmoniska oscillatorn kan erhållas direkt från lösningen till den endimensionella oscillatorn. Vågfunktionen ges av

 

Analog med endimensionella fallet definieras stegoperatorerna av

Stegoperatorer

 

 

Hamiltonoperatorn ges av

 

Energinivåerna för systemet blir

 

där   betecknar antalet kvanta i den  :te dimensionen.

En viktig skillnad mellan den endimensionella och den  -dimensionella oscillatorn är att den  -dimensionella oscillatorn har degenererade tillstånd, det vill säga flera olika tillstånd kan ha samma energi. Degenerationsgraden ges av

 

Notera att   oavsett  , det vill säga grundtillståndet är aldrig degenererat.

FördelningsfunktionRedigera

Huvudartikel: Planckfördelning

Sannolikheten för att ett tillstånd är besatt av en partikel ges av en fördelningsfunktion. Vid termisk jämvikt ges fördelningsfunktionen av Planckfördelningen, vilket är ett resultat av att den kvantharmoniska oscillatorn har jämnt fördelade energinivåer med konstanta avstånd. Den storkanoniska tillståndssumman ges av

 

Väntevärdet för hur många partiklar som har besatt ett tillstånd ges då av

 

Detta samband gäller för varje energinivå och resulterar i Bose-Einstein-statistik. Om antalet partiklar inte är väldefinierat gäller att   och Planckfördelningen erhålls

Planckfördelningen

 

TillämpningarRedigera

Fotoner och fononerRedigera

Den kvantharmoniska oscillatorn används bland annat för att beskriva fotoner, fononer, magnoner och andra partiklar eller kvasipartiklar.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  • Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (andra upplagan). Prentice Hall. ISBN 978-0131118928