De fem första Laguerrepolynomen för .

Laguerrepolynom är ett matematiskt begrepp, där n te Laguerrepolynomet som svarar mot parametern , definierat enligt

där är ett reellt tal så att .

För att följa den vanliga konventionen för definitionen av ortogonala polynom så kan man säga att Laguerrepolynomen svarar mot intervallet samt viktfunktionen .

I viss litteratur förekommer benämningarna Laguerrepolynom samt generaliserade Laguerrepolynom för fallen respektive .

Olikheten för parametern som förekommer i definitionen ovan, måste i allra högsta grad uppfyllas. För att förstå nödvändigheten i detta, förutsätt för en stund att olikheten inte uppfylls. Då kommer viktfunktionen inte vara integrerbar i origo, så att integralerna som definierar både ortogonalitet och norm för Laguerrepolynomen kommer att divergera.

Laguerrepolynomen satisfierar Laguerreekvationen:


Ett användningsområde för Laguerrepolynomen finns inom kvantmekaniken, där de förekommer då man behandlar väteatomens tillstånd.

Laguerrepolynomen är uppkallade efter Edmond Laguerre (1834-1886).

De första LaguerrepolynomenRedigera

n  
0  
1  
2  
3  
4  
5  
6  

Alternativa definitionerRedigera

Man kan definiera Laguerrapolynomen genom att först definierar

 
 

och sedan använda följande differensekvation för alla k ≥ 1:

 

En sluten formel är

 

Rodirgues formel för dem är

 

Laguerrepolynomens exponentiella genererande funktion är

 

EgenskaperRedigera

  • De första Laguerrepolynomen med parametern α är
 
  •  
  • Ln(α) har n reella, strikt positiva rötter som är alla i intervallet  
  • Laguerrepolynomens asymptotiska tillväxt för stora n fixerat α och x > 0, ges av
 
 
som kan sammanfattas som
 

där   är Besselfunktionen.

IdentiteterRedigera

Additionsformeln för Laguerrepolynomen är

 .

Laguerrepolynomen satisfierar ett flertal intressanta relationer:

 
 
 
 

Dessutom är

 

och genom att kombinera dem kan man bevisa att

 

En intressant identitet för heltal i och n är

 

som kan användas till att härleda partialbråksuppdelningen

 

MultiplikationsteoremRedigera

Två multiplikationsteorem av Erdélyi är

 

och

 

DerivatorRedigera

Laguerrepolynomens derivator kan räknas med hjälp av

 

Dessutom gäller följande ekvation

 

som kan generaliseras till

 

Derivatan i förhållande till andra variabeln α är

 

Laguerrepolynomen satisfierar differentialekvationen

 

OrtogonalitetRedigera

Laguerrepolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen

 

som följer ur

 


Relation till andra funktionerRedigera

Laguerrepolynomen är relaterade till generaliserade hypergeometriska funktionen enligt

 

där   är Pochhammersymbolen.

Hermitepolynomen är ett specialfall av Laguerrepolynomen:

 

och

 

Oändliga serier som innehåller LaguerrepolynomRedigera

Anta att funktionen f har serieexpansionen

 

Då är

 

Monom kan skrivas som

 

Binomialkoefficienterna har expansionen

 

som leder till formeln

 

Ofullständiga gammafunktionen har representationen

 

En annan oändlig serie är

 

ÖvrigtRedigera

Följande olikhet för Laguerrepolynomen gäller:

 

Följande integral är viktig i vissa fysikaliska applikationer av Laguerrepolynom:

 

Se ävenRedigera

KällorRedigera

  • Gerald B. Folland, Fourier analysis and its applications, Brooks/Cole publishing company, 1992.
  • B. H. Bransden and C. J. Joachain, Quantum mechanics, second edition, Prentice hall, Pearson Education, 2000.
  • Donald A. McQuarrie, Mathematical methods for scientists and engineers, University science books, 2003.
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.