En formel A, är ett teorem i ett formellt system om det finns ett bevis i systemet vars sista formel är A. Ett bevis för formeln finns, om den kan härledas enbart från systemets axiom med hjälp av systemets slutledningsregler.

Härledningsbegrepp
Närliggande begrepp

En formell teori, såsom exempelvis geometri och aritmetik, finns ett antal axiom, teorem som inte kan härledas från varandra, bara från sig själva. Axiomen är därför en liten delmängd av mängden teorem. Mängden av alla teorem bildar en teori. Ibland kallar man istället mängden av axiom för teorin.

Ett system där varje teorem är sant i en given tolkning kallas sunt med avseende på tolkningen. Ett system där varje teorem är sant i varje möjlig tolkning kallas ett sunt system. Om varje formel som tolkas som ett sant påstående i varje tolkning är ett teorem, kallas systemet fullständigt. Om en formel och dess negation samtidigt är teorem kallas systemet inkonsistent i annat fall kallas det konsistent.

Olika användning av orden teorem och satsRedigera

Orden teorem och sats används i olika betydelser i olika formella discipliner. Detta skapar förvirring om de inte hålls isär:

Huvudartikel: Sats (logik)

Inom logik är begreppen teorem och sats två olika saker. Teorem är bara de formler som kan härledas från teorins axiom, medan mängden av satser innefattar alla formler som kan tilldelas sanningsvärde, sann eller falsk, inte bara de som kan härledas från axiomen. Ett teorem är alltså även en sats, men det omvända gäller inte.

Huvudartikel: Sats (matematik)

Inom de matematiska disciplinerna (undantaget logik) används teorem synonymt med sats[1], vanligen i betydelsen djupare resultat eller huvudresultat, i kontrast till lemma (hjälpsats) och korollarium (följdsats). Alla dessa, teorem/sats, lemma och korallarium, är teorem i logikens definition, dvs härledbara ur teorins axiom.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  1. ^ Matematisk uppslagsbok, William Karush, svensk övers, utg. 1986, sid 289,323
  • G. Hunter, Metalogic, MacMillan 1971.