Girards sats, eller Harriot-Girards sats, är en sats inom sfärisk trigonometri som säger att ytan av en sfärisk triangel (blå i figur 1) med hörnvinklarna , och på en enhetssfär är:

Inom sfärisk geometri ger satsen att för en sfärisk triangel på en sfär med radien är ytan:

Ytan av en triangel på en sfär med given radie avgörs alltså endast och entydigt av hörnvinklarna och dess yta bestäms av hur mycket vinkelsumman överstiger 180°. Detta vinkelöverskott kallas sfäriskt överskott eller sfärisk excess (från engelskans Spherical excess)[1] och betecknas ofta med , sålunda:

Eftersom sfäriska polygoner låter sig uppdelas i sfäriska trianglar och polygonens vinkelsumma är lika med vinkelsumman av de ingående trianglarna gäller satsen i nedanstående något modifierade form även för en sfärisk polygon med hörn och hörnvinklarna :

där fallet med triangeln således motsvarar och är vinkelsumman i en plan polygon med hörn.

 
Figur 1.   blå och de tre kolunära trianglana gula.
 
Figur 2. Den något skeva "badbollen" (vinklarna är inte 90°) visar hur varje halvsfär är uppbyggd av en triangel från vardera av de fyra paren som definieras av tre strorcirklar.

Trianglar

redigera

Nedan bevisas satsen för   i figur 1 enligt Eulers metod.

Tre storcirklar delar in sfärens yta i åtta trianglar, vilka parvis har samma hörnvinklar, sidor och areor. I figur 1 är dessa par:

  och   med hörnvinklarna  ,   och  
  och   med hörnvinklarna  ,   och  
  och   med hörnvinklarna  ,   och  
  och   med hörnvinklarna  ,   och  

I figur 2 har dessa par givits var sin färg och ur denna figur ser vi att varje halvsfär består av en triangel ur vardera paret. Eftersom enhetssfärens yta är   så är summan av areorna för de fyra trianglarna på en halvsfär   och vi väljer för beviset de fyra med ett gemensamt hörn i  , det vill säga:

 

Genom att lägga ihop två trianglar med en gemensam sida bildas en "biangel"[2] som har ett hörn i vardera av två motstående poler och begränsas av två meridianer. Ytan av en sådan biangel är dubbla hörnvinkeln i endera polen, ty hela sfärens area är ju   och den andel som biangeln upptar är lika stor som den hörnvinkeln upptar av ett helt varv, det vill säga av  .   ingår i tre bianglar: vardera med en av de gulmarkerade trianglarna i figur 1, med "polvinklarna"  ,   respektive  , sålunda

 
 
 

Om vi summerar dessa tre areor (och utnyttjar likheten inom parentes i den första av dem) får vi:

 

Vi ser här att de fyra triangelareorna i vårt uttryck för halvsfärens area finns med så vi ersätter dessa fyra med   och får:

 

Vilket förkortas med två och stuvas om till:

 

och beviset är därmed klart.

"Bianglar"

redigera

I förbigående kan noteras att formeln även gäller för "bianglar" (med ett hörn i vardera av två motstående poler på sfären och begränsade av två meridianer mellan dessa)[2]:

 

För diskussion, se ovan under trianglar.

Polygoner

redigera
   
Figur 3. Polygonsidorna är storcirkelbågar, men har ritats som räta linjer.
Figur 4.

Betrakta polygonsidan   i figur 3. Om vi lägger till triangeln   till denna sida av den  -hörniga polygonen  , med arean  , vinkelsumman   och för vilken Girards formel gäller, får vi för vår nya polygon, med ett hörn mer, arean:

 
 

Och om formeln gäller för  , så gäller den för vår nya polygon med ett hörn mer. Så, eftersom den gäller för trianglar ( ), så gäller den för  .

Formeln gäller även för konkava polygoner (med någon eller flera innervinklar större än 180°). I figur 4 tas triangeln   bort från  . Vi får för ytan för den nya polygonen med ett hörn mer:

 
 
 
 

Historia

redigera

Satsen publicerades 1629 av den fransk/nederländske matematikern Albert Girard i Invention nouvelle En L'Algebre[3] (inte i Trigonometrie 1626 som ofta påstås)[4], men återfanns senare i opublicerade anteckningar från 1603 av den engelske matematikern Thomas Harriot.[5] Ett bättre bevis publicerdes 1632 av Bonaventura Cavalieri[4] i Directorium generale uranometricum in quo trigonomrtriae logarithmicae fundamenta[6] och ett mycket enkelt bevis gavs 1781 i De mensura angulorum solidorum[7] av Euler.[6]

Referenser och noter

redigera
  1. ^ "Spherical excess" i Björn Graneli, 2002, Engelsk - svensk ordlista för högskolematematiken, Luleå Tekniska Högskola, sid. 39.
  2. ^ [a b] Allmänt accepterad svensk beteckning saknas. Se, "lune=biangle" i Graneli Engelsk - svensk ordlista för högskolematematiken sid. 24. Graneli föreslår "meridianremsa", "biangel" är kortare.
  3. ^ Albert Girard, 1629, Invention nouvelle En L'Algebre, Guillaume Iansson Blaeuw, Amsterdam, sid. 66 (boken är opaginerad).
  4. ^ [a b] Glen Van Brummelen, 2017, Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry, sid. 111. ISBN 9780691175997.
  5. ^ F. Thomas Burke, 2013, What Pragmatism was, sid. 165. ISBN 9780253009548
  6. ^ [a b] Boris A. Rosenfeld, 2012, A History of Non-Euclidean Geometry, sid. 31. ISBN 9781441986801.
  7. ^ Leonhard Euler, 1781, De mensura angulorum solidorum, Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae 2, 1781, sid. 31-54(33-35). I Opera Omnia: Ser. 1, Vol. 26, sid. 204-223.