Den sfäriska sinussatsen är en sats inom sfärisk trigonometri som säger att för en sfärisk triangel, med sidorna , och och respektive motstående hörnvinklar , och (se figur 1) gäller att:[1]

Figur 1.

Ur den sfäriska sinussatsen kan den sfäriska tangenssatsen härledas. Denna säger (figur 1):[1]


Satserna upptäcktes av den persiske astronomen och matematikern Abu l-Wafa på 900-talet, eller av dennes elev Abu Nasr Mansur.[2][3] Den sfäriska trigonometrin vidareutvecklades sedan ur dessa upptäckter av främst Nasir al-Din al-Tusi på 1200-talet och denne anses ofta som definitiv fader till satserna i modern mening (även om Abu l-Wafa eller Mansur var före).[4][5]

BevisRedigera

Den sfäriska sinussatsen kan bevisas på flera sätt. Nedan ges ett algebraiskt bevis med vektorprodukt (kryssprodukt) och ett bevis som bara använder elementär trigonometri. Den sfäriska tangenssatsen bevisas enkelt med den sfäriska sinusstsen.

Algebraiskt bevis av den sfäriska sinussatsenRedigera

Givet en sfärisk triangel   med hörnvinklarna  ,   och   vilka har de motstående sidorna  ,   respektive  , på en enhetssfär med origo i  .

Vektorn   är normal mot   och  . På samma sätt är vektorn   är normal mot   och  . Planet som spänns upp av   och   är alltså ett normalplan till   och vinkeln mellan   och   är   (som också ligger i ett normalplan till  ). Med hjälp av definitionen av vektorprodukt:

 

får vi att:

 

Eftersom

 [6]
 [7] och
 

får vi:

 [7]
 

På samma sätt får vi:

 
 

Men då den skalära trippelprodukten är identisk under cirkulär permutation, det vill säga:

 

får vi

 .

Trigonometriskt bevis för den sfäriska sinussatsenRedigera

 
Figur 2. Den sfäriska triangeln   på en sfär med mittpunkt i  . (Punkten   kan ignoreras - den används för bevis av den sfäriska cosinussatsen.)
 
Figur 3.

Vi bevisar satsen för   (figur 2) på en enhetssfär, det vill säga:

 

Vi har även:

 ,   och  .

  är fotpunkt till   på planet  .   är fotpunkt till   och    och   är fotpunkt till   och   . Vi noterar att:

  och  

Vi får då:

  och
 , vilket ger (radien  , men hade den haft ett annat värde hade den förkortas bort):
 
 

Uttrycket för   och   visas analogt.

Om triangeln är trubbvinklig (figur 3) har vi att  , men då   får vi samma utgångsformler och således samma slutresultat.

Ur figur 1 framgår att det på samma sida av en storcirkel finns ytterligare tre trianglar som definieras av de tre storcirklarna. I förhållande till hörnet   har de antingen den motsatta sidlängden   och hörnvinkeln   eller sidlängden   och hörnvinkeln   och sålunda har vi:

 

och satsen gäller även för dessa trianglar.

Om vi nu betraktar en "triangel" bestående av tre sådana trianglar (två stycken bildar bara en digon och alla fyra bildar en halvsfär - ingen av dem med tre hörn) har den, exempelvis, sidorna  ,   och   och därmed hörnvinklarna  ,   och   får vi:

 
 
 
 

som ger:

 

Sålunda gäller den sfäriska sinussatsen för alla trianglar vars hela yta ligger på samma halvsfär.

Betrakta nu en triangel med samma sidor som   men med de yttre hörnvinklarna  ,   och  . Vi får då:

 
 
 

Vilket ger:

 
 

och sålunda gäller den sfäriska sinsussatsen för alla trianglar.

Härledning av den sfäriska tangenssatsenRedigera

Härledningen av den sfäriska tangenssatsen ur den sfäriska sinussatsen är analog med härledningen av den planära tangenssatsen ur den planära sinussatsen.

Sätt

 

Detta ger:

  och
 .

Vi får då :

 

Utnyttjande av:

 

ger då direkt:

 

Den sfäriska tangenssatsen fås också enkelt ur Napiers analogier genom att dividera formeln för   med den för   eller formeln för   med den för  .

Referenser och noterRedigera

  1. ^ [a b] Tazim Ahsan, Änis Ben Hamida och Henrik Björk, 2009, Icke-euklidisk geometri i Projekt i matematisk kommunikation (PDF 7,2 MB), Lunds Tekniska Högskola, sid. 67.
  2. ^ Jacques Sesiano Islamic Mathematics i Helaine Selin (ed.), 2000, Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, sid. 157. ISBN 9780792364818.
  3. ^ J J O'Connor & E F Robertson, Abu Nasr Mansur ibn Ali ibn Iraq på MacTutor History of Mathematics archive.
  4. ^ Glen Van Brummelen, 2009, The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry sid. 190. ISBN 9780691129730.
  5. ^ Glen Van Brummelen, History of Trigonometry to 1550 i Vagn Lundsgaard Hansen & Jeremy Gray, 2010, History of Mathematics, sid. 60-62. ISBN 9781848262218.
  6. ^ Sätt e = a×b. Vi får då (via Lagranges formel) (a×b)×(a×c) = e×(a×c) = (e⋅c)a - (e⋅a)c = (c⋅(a×b))a - (a⋅(a×b))c. Men då a är vinkelrät mot a×b så är (a⋅(a×b))c = 0. Detta, och att den skälära trippelprodukten är identisk under cyklisk permutation, ger (a×b)×(a×c) = c⋅(a×b)a = a⋅(b×c)a
  7. ^ [a b]   eftersom det är en enhetscirkel.