Den sfäriska cosinussatsen är en sats inom sfärisk trigonometri som säger att för en sfärisk triangel på en enhetssfär (en sfär med radien 1) gäller att (beteckningar enligt figur 1):

Figur 1.
och

Notera här att längden av storcirkelbågarna a, b, och c är lika med respektive vinkel i sfärens origo (O) i radianer, det vill säga , och , eftersom det är en enhetssfär. Om "sidlängderna" anges i radianer gäller satsen för sfäriska trianglar på alla sfärer.

Den sfäriska cosinussatsen är en sorts motsvarighet till plangeometrins cosinussats för trianglar och ju mindre den sfäriska triangeln är (det vill säga ju mindre vinklar i origo sidorna motsvarar), desto mer närmar sig sidorna räta linjer, och desto mer närmar sig den sfäriska cosinussatsen den planära cosinussatsen.

Om, exempelvis, är och vi får en sfärisk "motsvarighet" till Pythagoras sats[1] från den tredje ekvationen ovan:

Cosinus för "hypotenusan" är lika med produkten av cosinus för "kateterna".

Den sfäriska cosinussatsen har tillämpningar vid beräkningar på sfäriska ytor inom exempelvis astronomi, navigation och geodesi.

Den duala cosinussatsen i vilken sidor och hörnvinklar "bytt plats" är förvillande lik och lyder (beteckningar enligt figur 1):[2]

HärledningRedigera

Härledning med skalärproduktRedigera

 
Figur 2.

Givet den blå sfäriska triangeln   på en enhetssfär med origo i   i figur 2. Låt ett kartesiskt koordinatsystem ha origo i  , vektorn   definiera dess z-axel samt projektionen av   på det mot z-axeln vinkelräta xy-planet definiera x-axelns riktning. Triangelsidorna  ,   och   motsvarar vinklarna  ,   respektive   och hörnvinkeln i   är lika med   (sfärens tangentplan i   är ju parallellt med xy-planet).

Eftersom   och   får vi koordinaterna   för triangelhörnen:

 
 
 

Skalärprodukten   ges dels av:

 

och dels av:

 

vilket (med smärre omstuvning av högerledet) ger:

 

Härledning med elementär trigonometriRedigera

 
Figur 3.
 
Figur 4.

Nedan ges ett enkelt geometriskt bevis som endast använder elementär trigonometri för   i det fall inga "sidor" överstiger 90°, bevis för övriga vinklar i triangeln är analoga.

Betrakta den röda sfäriska triangeln   på en enhetssfär (med origo i  ) i figur 3. I inledningen noterades att  ,   och  .

Eftersom det är en enhetssfär är  .

Punkten   är fotpunkt till   på ytan  ,   är fotpunkt till   och   ,   är fotpunkt till   och    och   är fotpunkt till   .

Eftersom   är en radie i sfären är vinkeln  [3].

Vi får nu ur figur 3:

 
 
  (enligt ovan)
  (enligt ovan)

Vi har också att

 

där:

 
 
 
 
 

Så genom att sätta in (2), (3) och (4) i (1) (och stuva om lite på ordningen) får vi alltså:

 

Om   sammanfaller   och   och vi har (ty  )

 

Det vill säga att vi får "den sfäriska varianten av Pythagoras sats".

Om   (se figur 4) faller   utanför   vilket leder till:

  och
 

Uttrycken (2) och (3) ovan förblir oförändrade men i stället för (4) får vi på grund av (6):

 

Så genom att sätta in (2), (3) och (7) i (5) (och återigen stuva om lite på ordningen) får vi återigen:

 

Vi konstaterar också att en sfärisk triangel på en enhetssfär med alla sidor kortare än π/2 endast kan ha en hörnvinkel som är större än 90°.[4]

Om denna enda hörnvinkel som är större än 90° skulle vara vinkel α i figur 2, syns direkt att det inte påverkar härledningen och skulle det vara β får man göra härledningen utifrån B:s fotpunkt på ytan OAC i stället. γ visade vi ju ovan med hjälp av figur 4.

Vi konstaterar att satsen även gäller för "komplementtriangeln" (det icke blåfärgade området i figur 1). Denna har ju också sidlängderna a, b och c. Hörnvinklarna är dock de yttre vinklarna: 360°- α, 360° - β och 360° - γ. Men eftersom cos(360°-x)=cos(-x)=cos(x) gäller satsen.

Vi har således visat att den sfäriska cosinussatsen gäller för alla sfäriska trianglar (på en enhetssfär) vars alla sidor är kortare än π/2.

Den duala cosinussatsenRedigera

 
Figur 5.

För den polära triangeln   till   (se figur 5) gäller:

 

Eftersom den sfäriska cosinussatsen även gäller för den polära triangeln får vi:

 
 
 
 
 

Samband mellan den sfäriska och den planära cosinussatsenRedigera

I inledningen nämndes att då "sidorna" a, b och c representerar allt mindre vinklar i origo, så närmar sig den sfärsika cosinussatsen den planära. Så för mycket små vinklar a, b och c:

De båda maclaurinutvecklingarna:

 
 

kan skrivas som ("approximationerna för små vinklar"):

 [5]
 [6]

där   är stora ordo.

Om vi applicerar detta på sinus och cosinus för a, b och c i den sfäriska satsen får vi:

 

Med  [7] får vi:

 
 

De ordon som innehåller både a och b domineras antingen av   eller av   och kan därför inneslutas i antingen den ena eller andra av dessa och därför i deras summa.[8] Uttrycket kan sedan förenklas till

 

TillämpningarRedigera

Den sfäriska cosinussaten kan användas för att beräkna en hörnvinkel om man har de tre sidorna i en sfärisk triangel givna, eller beräkna den återstående sidan om man har två sidor och den mellanliggande hörnvinkeln given. Övriga hörnvinklar beräknas lämpligen med någon av de sfäriska cotangensformlerna eller med den sfäriska sinussatsen som är enklare.

Den duala cosinussatsen kan på motsvarande sätt användas om de tre hörnvinklarna är givna (till skillnad från en plan triangel är sidorna i en sfärisk triangel bestämda om alla tre hörnvinklarna är det) eller om två hörnvinklar och den mellanliggande sidan är given. Även här används lämpligen cotangensformlerna eller den sfäriska sinussatsen för att beräkna de båda övriga sidorna.

Övriga fall löses med hjälp av Napiers analogier.

AstronomiRedigera

Inom astronomi kan den sfäriska cosinussatsen användas för att beräkna vinkelavståndet mellan två objekt på himmelssfären:

Betrakta den sfäriska triangeln med hörnet A i norra himmelspolen och hörnen B och C i respektive objekt (som i figur 2). Vinken α blir då lika med skillnaden i rektascension (RA) för objekten, medan b och c anger objektens polvinklar (b är polvinkeln för C, medan c är polvinkeln för B). Sidan a anger då vinkelavståndet θ mellan objekten. Vi har alltså:

 

Eftersom polvinken är lika med  , där   betecknar deklinationen för objektet X, ger detta:

 
 
där  .

Om man i stället för det ena objektet sätter in zenit, kan omvandlingar mellan ett objekts horisontella och ekvatoriella koordinater göras.

GeodesiRedigera

På motsvarande sätt kan vinkelavstånd mellan orter på en sfärisk jord[9] beräknas (deklination motsvarar då latitud,  , och rektascension longitud,  ) och ur detta fås avståndet "fågelvägen" längs jordytan,   genom att multiplicera med jordradien,  :

 

NavigationRedigera

För navigationsändamål gör denna kunskap om vinkelavståndet mellan farkostens nuvarande position och destinationen vidare att bäringen till destinationen kan beräknas med den sfäriska cosinussatsen. Så om A ligger i nordpolen, C i positionen och B i destinationen fås bäringen ur γ (bäring betecknas även den, liksom vinkelavståndet, med θ, så här behålls γ för bäringen). Vi stuvar därför om ekvationen för cos(c) till:

 

där (  betecknar latitud):

 
  och
 

Insättning av uttrycken för b och c ger, efter förenkling:

 

Notera att vi får två olika bäringar inom 360°, dels γ och dels 360° - γ. Det första värdet gäller om destinationen ligger östligare än positionen, det andra om destinationen ligger västligare.

Notera även att nya bäringar kontinuerligt måste beräknas och kursen (i förhållande till kompassen/nordriktningen) läggas om allteftersom man färdas för att man skall fortsätta rakt fram längs storcirkeln och nå målet (om man inte följer en meridian eller ekvatorn), eftersom en storcirkel (ekvatorn undantagen) inte skär meridianerna i samma vinkel (en kurva som gör detta kallas loxodrom och leder i allmänhet[10] till att man i spiral närmar sig endera av polerna).

Övriga tillämpningarRedigera

Solfångare och solpanelerRedigera

 
Figur 6.

Solstrålningens infallsvinkel för en plan solfångare eller solpanel kan beräknas med den sfäriska cosinussatsen[11] enligt:

 ,

eller, med   och  :

 ,

där   är infallsvinkeln,   och  är zenitvinkeln för solen respektive solfångarens(-panelens) normalvektor,   och  är motsvarande höjdvinklar (altituder) och   och   är azimutvinklarna för solen respektive solfångarens normalvektor. (Azimuten anges vanligen i förhållande till sydriktningen på norra halvklotet vid solfångartillämpningar.[12])

Med beteckningar enligt figur 6 (z-axeln motsvarar lodlinjen och x- och y-axlarna spänner upp horisontalplanet): Vi har här en triangel på himmelssfären (vars medelpunkt, O, ligger på den grå solfångarens, eller -panelens, yta) som definieras av lodlinjen (riktningen till zenit, OA), riktningen till solen (OB) och solfångarpanelens normalvektor (OC). Infallsvinkeln är den vinkel (i) som solstrålningen bildar mot solfångarpanelens normalvektor. De båda övriga triangelsidorna utgörs av solens zenitvinkel (z) och panelnormalens zenitvinkel (zC). Vinkeln mellan dessa båda sidor i zenit (A) är skillnaden i azimut mellan solen (a) och panelnormalen (aC). Substitution av 90°-höjdvinkeln = zenitvinkeln via cos(90°-x) = sin(x) och sin(90°-x) = cos(x) ger den andra formeln ovan.

HistoriaRedigera

Den sfäriska cosinussatsen förekommer i igenkännbar form hos Regiomontanus i bok fem av dennes De triangulis omnimodis från 1464, dock med användande av sinus versus i stället för cosinus.[13] I vilken mån Regiomontanus formulering är "densamma" som Al-Battanis (i Kitāb az-Zīj, cirka 900), och därför även huruvida Al-Battani rent av skall anses vara först med satsen, är något omdiskuterat.[14] Regiomontanus var väl förtrogen med Al-Battanis verk (och ägde själv två exemplar; varav det ena "återutgavs" med Regiomontanus kommentarer 1537), i vilket beräkning av solens azimut med hjälp av latituden, altituden och deklinationen på ett sätt som överensstämmer med satsen beskrivs.[15]

Referenser och noterRedigera

  1. ^ Cosinussatsen ger ju Pythagoras sats om en vinkel i triangeln är rät.
  2. ^ Tazim Ahsan, Änis Ben Hamida och Henrik Björk, 2009, Icke-euklidisk geometri i Projekt i matematisk kommunikation (PDF 7,2 MB), Lunds Tekniska Högskola, sid. 67.
  3. ^ Både   och   ligger ju i normalplan till  .
  4. ^ Betrakta figur 1 och antag att hörnvinklarna α och β är 90°. Om storcirkeln genom A och B (och som innehåller sidan c) kallas "ekvator", så möts sidorna a och b i "nordpolen" och har båda längden π/2. Skulle α och β båda vara större än 90° skulle sidorna a och b mötas på andra sidan "nordpolen" vilket innebär att de båda också skulle vara längre än π/2. Detta gäller för den mot ABC stående triangeln med spetsen i C och hörnvinkeln γ som har sidlängderna π-a, π-b och c.
  5. ^ |O(x4)| < 0,1 ‰ av cos(x) om x < 0,22 rad (13°). Erik Ingelstam, Rolf Rönngern, Stig Sjöberg, 1971, TEFYMA, 1 uppl., 2 tr., Sjöbergs Förlag, sid. 66.
  6. ^ |O(x3)| < 0,1 ‰ av sin(x) om x < 0,025 rad (1,4°). TEFYMA, sid. 66.
  7. ^ Notera att vinklarna ("sidorna") a och b är mycket små så a2b2/4 är därför försumbart mycket mindre än a2/2 eller b2/2. Om a > b så dominerar a4 över a2b2 och är b > a så dominerar b4 över a2b2 - och vi har redan både O(a4) och O(b4) i ekvationen.
  8. ^ Notera att cos(γ)⋅O(x) = O(x). Om 1 > a > b så är a4 > a3b > a2b2 > ab3 > b4 > a2b4 > a4b4 (och motsvarande för 1 > b > a). Så antingen O(a4), O(b4) eller O(c4) dominerar över de övriga och felet kan således aldrig överstiga nio gånger den största av dessa tre. Och 9⋅O(x)=O(x).
  9. ^ Jorden är ju inte sfärisk, utan mer lik en rotationsellipsoid med avplattningen 1/300 (och referensgeoider mer komplicerade än så), så för noggrannare beräkningar krävs lite mer avancerad matematik. En beräkning med den sfäriska cosinussatsen av avståndet från Smygehuk (55,369° N, 13,351° E) till Treriksröset (69,060° N, 20,382°E), med jordradien 6361,5 km (för 62° N), resulterar i 1560,6 km. Enligt WGS-84 Geoid Distance Calculator är avståndet 1566,6 km.
  10. ^ om inte vinkeln är 0°, då man följer en meridian, eller 90°, då man följer en parallell
  11. ^ Solar Incidence Angle på ScienceDirect.
  12. ^ Filippo Gualla, 2015, Sun position and PV panels: a model to determine the best orientation, Department of Physical Geography and Ecosystems Science, Lunds universitet, sid. 2.
  13. ^ versin α = 1 - sin(π/2 - α) [= 1 - cos α].
  14. ^ Tony Phillips, 2006 The True History of the Law of Cosines.
  15. ^ Ernst Zinner (övers. E. Brown), 2014, Regiomontanus: His Life and Work, sid. 57. ISBN 9781483295985.