Öppna huvudmenyn

Rörelsemängd

produkten av massan och hastigheten hos ett objekt

Inom klassisk mekanik, definieras rörelsemängden (SI-enhet kg·m/s) som produkten av ett objekts massa och hastighet.

Rörelsemängd
Billard.JPG
Med undantag mycket små förluster på grund av friktion och värmeöverföring är rörelsemängden konserverad i biljard såsom poolbiljard (break-off shot visas ovan). När en boll träffar en annan och stoppas har dess hela rörelsemängd i effekt överförts till den andra bollen. Om den emellertid avböjs istället för stoppas, är sedan dess rörelsemängd delad mellan de två bollarna.
Grundläggande
DefinitionProdukten av ett objekts massa och hastighet.
Storhetssymbol(er)
Enheter
SI-enhetN·s
kg·m·s−1
SI-dimensionM·L·T–1

I allmänhet kan rörelsemängden uppfattas som ett mått på hur svårt det är att ändra ett objekts rörelsetillstånd, bestämt av två faktorer: dess massa och dess hastighet. Detta kan ses som en naturlig konsekvens av Newtons första lag och Newtons andra lag. Reducerad hastighet eller massa resulterar i mindre rörelsemängd och omvänt.

Rörelsemängd är en bevarad kvantitet i den betydelsen att den totala rörelsemängden för ett slutet system (ett som inte påverkas av yttre krafter) inte kan ändras.

Innehåll

Rörelsemängd inom klassisk mekanikRedigera

Om ett objekt rör sig i en referensram så har det en rörelsemängd i denna ram. Det är viktigt att notera att rörelsemängden beror av referensramen. Ett objekt har en viss rörelsemängd relativt en fast punkt på marken medan det har rörelsemängden 0 i en referensram som är förbunden med objektet (en referensram i vilket objektet är i vila).

Den rörelsemängd ett objekt har beror av två fysikaliska kvantiteter: massan och hastigheten för objektet i referensramen.

Rörelsemängd betecknas vanligen med   och är en vektor och rörelsemängden kan då skrivas

 

där:

  är rörelsemängden (vektor)
  är massan (skalär)
  är hastigheten (vektor)

Rörelsemängd för ett systemRedigera

System av massa och hastighetRedigera

Rörelsemängden för ett system av objekt är den vektoriella summan av alla objekts rörelsemängd för de objekt som tillhör systemet.

 

där

  är rörelsemängden
  är massan av ett objekt i systemet
  är den vektoriella hastigheten för ett objekt i systemet
  är antalet objekt i systemet

System av krafterRedigera

Kraft är lika med rörelsemängdens ändringshastighet:

 .

I fallet med konstant massa och hastigheter mycket lägre än ljushastigheten kan vi skriva  , vanligtvis känd som Newtons andra lag.

Bevarande av rörelsemängdRedigera

Principen om bevarande av rörelsemängd innebär att den totala rörelsemängden för ett slutet system av objekt (vilka inte har några interaktioner med yttre objekt) är konstant. En av konsekvenserna av detta är att ett systems tyngdpunkt alltid rör sig med samma hastighet och riktning om det inte utsätts för påverkan utifrån.

Rörelsemängdens bevarande är enligt Noethers sats en konsekvens av rymdens homogenitet (translationsinvarians). I ett isolerat system är rörelsemängden konstant: detta impliceras av Newtons första lag. Newtons tredje lag: lagen om ömsesidig verkan; krafter som verkar mellan system är lika till storlek men med motsatta tecken beror på rörelsemängdens bevarande.

Då rörelsemängd är en vektor har rörelsemängd riktning. När ett gevär avfyras uppstår rörelser i systemet men kulans rörelsemängd i ena riktningen är lika till storlek men med omvänt tecken i förhållande till gevärets rörelsemängd i den andra riktningen. Summan av gevärets och kulans rörelsemängder blir då noll, det vill säga det samma som för systemet innan kulan avlossades.

Elastiska kollisionerRedigera

En kollision mellan biljardbollar är ett bra exempel på en nästan helt elastisk kollision. Förutom att rörelsemängdsmomentet är bevarat när de två bollarna kolliderar så är den totala kinetiska energin före och efter kollisionen densamma (f = före, e = efter):

 

Oelastiska kollisionerRedigera

Ett exempel på en oelastisk kollision är när två snöbollar kolliderar och bildar en enda massa. Vi kan sätta upp en ekvation som beskriver bevarandet av rörelsemängden efter kollisionen:

 

Det går att visa att en fullständigt oelastisk kollision är en i vilken maximal mängd kinetisk energi omvandlas i andra former. Om de båda objekten häftar vid varandra efter kollisionen och rör sig med en slutgiltig och gemensam hastighet, går det alltid att finna en referensram i vilken objekten bringas till vila efter kollisionen och all kinetisk energi är konverterad. Detta är sant även i det relativistiska fallet och används i partikelacceleratorer för att effektivt konvertera kinetisk energi till nya partiklar.

Moderna definitioner av rörelsemängdRedigera

Rörelsemängd inom relativistisk mekanikRedigera

 
  som funktion av  

Inom relativistisk mekanik definieras rörelsemängd som

 

där

  är den invarianta massan av det rörliga objektet
  är Lorentzfaktorn
  är den relativa hastigheten mellan objektet och en observatör
  är ljusets hastighet

Relativistisk rörelsemängd övergår till newtonsk rörelsemängd   vid låga hastigheter  .

Den relativistiska 4-rörelsemängd som den föreslogs av Albert Einstein är invariant under Lorentztransformationen. 4-rörelsemängden definieras som vektorn

 

där

  betecknar den relativistiska rörelsemängdens komponenter,
  är systemets totala energi:
 

Enligt det sätt som beloppet hos 4-vektorer beräknas på är 4-rörelsemängdens belopp lika med massan gånger ljusets hastighet, vilken är invariant med avseende på alla referensramar:

 

Rörelsemängd för masslösa objektRedigera

Masslösa objekt sådana som en foton har också rörelsemängd:

 

där

  är Plancks konstant,
  är fotonens våglängd,
  är fotonens energi och
  är ljusets hastighet.

Rörelsemängd inom kvantmekanikRedigera

Inom kvantmekaniken är rörelsemängd definierad som en operator för vågfunktionen. Heisenbergs osäkerhetsprincip definierar gränser för hur noggrant rörelsemängd och position för ett observerat system kan bestämmas samtidigt. Inom kvantmekanik är position och rörelsemängd konjugerade variabler.

För en enstaka partikel som inte påverkas av en magnetisk potential kan rörelsemängdoperatorn skrivas

 

där   är gradientoperatorn,   är Diracs konstant och   är den imaginära enheten.

ImpulsRedigera

Impuls
Grundläggande
DefinitionProdukten av en kraft och tiden för vilken den verkar
Storhetssymbol(er)J, Imp[1]
Enheter
SI-enhetN · s = kg · m/s

En impuls ändrar rörelsemängden för ett objekt. En impuls beräknas som integralen av kraft med avseende på tid där integrationsintervallet är impulsens varaktighet:

 

 

erhålls

 
 
 

Specifik impulsRedigera

Inom rymdfart används begreppet specifik impuls, Isp. Enkelt uttryckt är det ett mått på hur mycket kraft ett raketbränsle kan ge. Det är dock viktigt att tänka på att detta inte säger något om effektiviteten hos bränslet, alltså kraft per viktenhet.

Den specifika impulsen definieras som det förgasade bränslets utströmningshastighet dividerad med jordaccelerationen g och mäts i sekunder[2]. Alternativ beskrivning är att det är förhållandet mellan dragkraften F/g och massutflödet dm/dt. Massutflödet, eller det förgasade bränslets utströmningshastighet, påverkas inte bara av bränslet i sig utan också av raketmotorns utformning.

 

Ytterligare en beskrivning av Isp är att det är den totala impulsen per viktenhet förbränt bränsle[3]:

 

Vid konstant dragkraft och utströmningshastighet kan detta förenklas till:
 

Typiska värden på Isp i sekunder för olika raketbränslen:

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  1. ^ Beer, F.P., E.R. Johnston, Jr., D.F. Mazurek, P.J. Cornwell, and E.R. Eisenberg. (2010). Vector Mechanics for Engineers; Statics and Dynamics. 9th ed. Toronto: McGraw-Hill.
  2. ^ Geostationära Nyttosatelliter, ISBN 91-44-28021-1
  3. ^ Spacecraft Systems Engineering, ISBN 0-471-95220-6