Öppna huvudmenyn

En ortogonalmatris är en reell kvadratisk matris vars rader och kolonner är ortogonala enhetsvektorer.

En matris Q är ortogonal om dess transponat är lika med dess invers:

vilket medför att

där I är enhetsmatrisen.

Ortogonalmatriser har konditionstal 1, varför de är viktiga för att bestämma stabilitet inom numerisk linjär algebra.

Innehåll

ExempelRedigera

Exempel på ortogonala matriser är:

EgenskaperRedigera

En reell kvadratisk matris av storlek   är ortogonal om och endast om dess kolumner bildar en ortonormerad bas för   med den vanliga skalärprodukten införd. Om kolumnerna endast är ortogonala och inte normerade uppfyller matrisen   för någon diagonalmatris   istället.

Determinanten till en ortogonal matris   är 1 eller -1:

 
 

Det omvända gäller dock inte; en matris med determinanten 1 är inte nödvändigtvis ortogonal.

En linjär avbildning som har en ortogonalmatris i en ON-bas är också en isometri. Vid basbyte mellan två ändliga ON-baser är basbytesmatrisen en ortogonalmatris, vilket gör att diagonalisering av vissa matriser blir väldigt enkelt, se spektralsatsen.

Ortogonalmatriser används vid ett antal matrisfaktoriseringar, exempelvis QR-faktorisering, polärfaktorisering och singulärvärdesfaktorisering.

KonstruktionRedigera

De enklaste ortogonala matriserna är   och  .

Ortogonala 2×2-matriser kan konstrueras med ett antal ekvationer. Vi utgår från matrisen

 

Kolonnerna skall vara ortogonala och varje kolonns skalärprodukt med sig själv skall vara 1. Detta ger ekvationerna

 
 
 

De två första ekvationerna är ekvationen för en cirkel och med

 

får vi två möjliga lösningar

 

eller

 .

Detta ger

 , en rotationsmatris, och
 , en reflektionsmatris.

Se ävenRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.