Öppna huvudmenyn

Inom linjär algebra har en matris A egenskapen inverterbarhet eller invertibilitet, om och endast om det existerar en matris B sådan att

där I är enhetsmatrisen. Då kallas A en inverterbar matris och B kallas inversen till A och skrivs A−1. Det följer av definitionen att både A och A−1 är kvadratiska matriser av samma dimension n×n. En kvadratisk matris som inte är inverterbar kallas för en singulär matris.

Innehåll

Ekvivalenta egenskaperRedigera

Att en n × n-matris A är inverterbar är ekvivalent med att:

  • Determinanten av A är nollskild, det A ≠ 0.
  • A har rang n.
  • Ekvationen Ax = 0 endast har den triviala lösningen x = 0. Med andra ord, nollrummet består endast av nollvektorn.
  • Transponatet AT är inverterbart.
  • Talet 0 är inte ett egenvärde till A.

Analytisk lösningRedigera

Transponering av en matris bestående av underdeterminanter (kofaktorer), kan vara ett effektivt sätt att beräkna inversen till små matriser, men denna rekursiva metod är ineffektiv för större matriser:

 

så att

 

där |A| är A:s determinant, C är matrisen av underdeterminanter och CT representerar den transponerade matrisen.

Invertering av 2 × 2 matriserRedigera

Invertering av dessa matriser kan göras enligt[1]

 

Detta är möjligt därför att 1/(adbc) är det reciproka värdet av determinanten till A (som antas vara nollskild) och samma strategi kan användas för andra matrisstorlekar.

Cayley–Hamiltons sats anger att

 

Invertering av 3 × 3 matriserRedigera

En beräkningsmässigt effektiv metod för invertering av 3 × 3 matriser ges av

 

(där skalären A inte skall förväxlas med matrisen A). Om determinanten är nollskild är matrisen inverterbar, där skalärerna (A, B, ...) ges av

 

A:s determinant kan beräknas med hjälp av Sarrus regel:

 

Cayley–Hamilton-uppdelningen ger

 

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

NoterRedigera

  1. ^ Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra (3rd). SIAM. sid. 71. ISBN 0-9614088-9-8. https://books.google.com/books?id=Gv4pCVyoUVYC , Chapter 2, page 71
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.