Spektralsatsen

Spektralsatsen är en samling satser inom linjär algebra. Satserna anger vilka linjära avbildningar som har en bas av ortonormerade egenvektorer och alltså kan diagonaliseras i denna bas, det vill säga huruvida matrisen A kan uttryckas som

$A=UDU^{*}$

där D är en diagonalmatris och U är en unitär matris.

Satsen anger dels att vissa matriser är diagonaliserbara, dels att det inte är nödvändigt att beräkna en invers, vilket är fallet vid allmänna diagonaliseringar, då matrisen skrivs

$A=TDT^{-1}$.

Spektralsatser

Spektralsatsen finns i flera utföranden. Spektralsatsen för symmetriska avbildningar är oftast den enda som lärs ut i en grundkurs i linjär algebra.

Symmetriska avbildningar

Om $V$ är ett ändligt-dimensionellt reellt inre produktrum gäller följande:

$F:V\rightarrow V$ är en symmetrisk linjär avbildning $\iff V$ har en ortonormerad bas av egenvektorer till $F$.

Hermitska avbildningar

Om $V$ är ett ändligt-dimensionellt komplext inre produktrum gäller följande:

$F:V\rightarrow V$ är en hermitsk linjär avbildning $\implies V$ har en ortonormerad bas av egenvektorer till $F$ och egenvärdena är reella.

Normala avbildningar

Om $V$ är ett ändligt-dimensionellt komplext inre produktrum gäller följande:

$F:V\rightarrow V$ är en normal linjär avbildning $\iff V$ har en ortonormerad bas av egenvektorer till $F$ (men egenvärdena är i allmänhet inte reella).

Notera ekvivalensen: Normala linjära avbildningar är alltså exakt de avbildningar som kan diagonaliseras med en bas av ortonormerade egenvektorer.

Bevis

Symmetriska avbildningar

Spektralsatsen bevisas för en reell symmetrisk avbildning F genom matematisk induktion över dimensionen p för vektorrummet $\mathbb {E} ^{p}$ som F verkar på.

• Visa att satsen gäller för p = 1.

Låt vektorn $\mathbf {f}$ vara talet 1. Eftersom avbildningsmatrisen har dimensionen 1x1 och är reell avbildas $\mathbf {f}$ på en reell multipel av sig själv, så egenvärdet är reellt.

$\mathbf {f}$ är alltså en normerad egenvektor till $F$ och därmed den sökta basen till $\mathbb {E} ^{1}$.

• Anta vidare att satsen är sann för rum av dimensionen p. Visa då att satsen även är sann för rum av dimensionen p + 1.

Symmetriska matriser är hermitska, och hermitska matriser har endast reella egenvärden. Välj ett (reellt) egenvärde $\lambda _{1}$ för $F$ i rummet $\mathbb {E} ^{p+1}$ och låt vektorn $\mathbf {f} _{1}$ vara en normerad egenvektor till denna.

Bilda mängden $V$ som innehåller alla vektorer i $\mathbb {E}$ som är ortogonala mot $\mathbf {f} _{1}$. Dimensionen för $V$ blir alltså $p$. Låt $V$ ha ortonormala basvektorer $\mathbf {f} '_{2},\mathbf {f} '_{3}\dots ,\mathbf {f} '_{p+1}$. Notera att dessa inte nödvändigtvis är egenvektorer till $F$.

Fyll ut med $\mathbf {f} _{1}$ till en ON-bas för $\mathbb {E} ^{p+1}$.

Transformationsmatrisen $T$ blir då ortonormal, så $T^{-1}=T^{T}$. Avbildningsmatrisen i den nya basen, $A_{f}=TAT^{T}$, blir då symmetrisk eftersom $A_{f}^{T}=(TAT^{T})^{T}=TA^{T}T^{T}=TAT^{T}=A_{f}.$. Den får då formen ${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &\cdots &a\\\vdots &\vdots &\ddots &b\\0&a&b&c\end{pmatrix}}$.

Då V har dimension p och är symmetrisk existerar ortonormala egenvektorer $\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3},\dots ,\mathbf {f} _{p+1}$ till F begränsat till rummet V enligt induktionsantagandet.

Det betyder i sin tur att $\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\dots ,\mathbf {f} _{p},\mathbf {f} _{p+1}$ är en ortonormerad bas bestående av egenvektorer till $F$

• Eftersom satsen är sann för dimensionen $p=1$ och om den är sann för ett rum av dimensionen $p$ så är den även sann för rum av dimensionen $p+1$, är satsen sann för alla heltalsdimensioner.

Normala avbildningar

Schurs sats kan användas för att bevisa att en normal matris kan diagonaliseras med en unitär matris.

Låt A vara en normal matris. Det finns då, enligt Schurs sats, en unitär matris U så att A = UTU^H, där T är en uppåt triangulär matris med A:s egenvärden på diagonalen. Man får då att:

$AA^{H}=UTT^{H}U^{H}~~~A^{H}A=UT^{H}TU^{H}$.

Då A är normal och U inverterbar ger detta att TT^H = T^HT. T är uppåt triangulär och T^H är nedåt triangulär, så för att produkterna TT^H och T^HT ska vara lika måste T vara diagonal.

Historia

Spektralsatsen utformades under början av 1800-talet av Augustin-Louis Cauchy.

Tillämpningar

Kvadratiska former

En kvadratisk form kan skrivas som en symmetrisk matris och kan därför diagonaliseras med en ortonormerad bas. Den blir då mer lätthanterlig. Spektralsatsen kan i vissa fall vara formulerad som att en kvadratisk form i ett euklidiskt rum har en kanonisk ortonormerad bas. Detta gör att spektralsatsen kan användas för att bestämma olika andragradsytors huvudaxlar.

Exempelvis kan den kvadratiska formen

$k(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+6x_{2}x_{3}+x_{3}^{2}$

skrivas på matrisform som

$k(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&3\\0&3&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

och där egenvärdena är

$1,1-{\sqrt {13}},1+{\sqrt {13}}$,

så att k i den nya basen kan skrivas

$k'(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+(1-{\sqrt {13}})x_{2}^{2}+(1+{\sqrt {13}})x_{3}^{2}$.

Referenser

• Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2007, MAI (Linköpings Universitet)
• Thompson, Jan, Matematiklexikon, 2005, Wahlström & Widstrand
• Treil, Sergei, Linear Algebra Done Wrong, 2004, elektroniskt tillgänglig http://www.math.brown.edu/%7Etreil/papers/LADW/LADW.html
• Horn, Roger; Charles Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6