Polärfaktorisering

Polärfaktorisering är inom linjär algebra en matrisfaktorisering som är analog till polärfaktorseringen av ett komplext tal, $z=re^{i\theta }$, där r är absolutbeloppet av z och $\theta$ är z:s argument.

Definition och beräkning

Givet en matris A kan den faktoriseras på formen:

$A=UP\,$

som kallas högerpolärfaktorisering. A kan även faktoriseras som:

$A=P'U\,$

som kallas vänsterpolärfaktorisering eller omvänd polärfaktorisering.

U är en unitär matris som är gemensam för båda faktoriseringarna. P och $P'$ är positivt semidefinita hermiteska matriser. Faktoriseringarna existerar alltid och är unika så länge A är inverterbar och P väljs att vara positivt definit.

Matriserna P och $P'$ ges av:

$P={\sqrt {A^{*}A}}$

$P'={\sqrt {AA^{*}}}$

där $A^{*}$ är det hermiteska konjugatet till A. Uttrycken är väldefinierade då $A^{*}A$ och $AA^{*}$ är positivt definita hermiteska matriser, så att det existerar en unik kvadratrot.

Matrisen U ges sedan alltid av:

$U=AP^{-1}=P'^{-1}A\,$

Beräkning via singulärvärdesfaktorisering

Om A är singulärvärdesfaktoriserad, $A=W\Sigma V^{*}$, ges matriserna i polärfaktoriseringarna av:

$U=WV^{*}$

$P=V\Sigma V^{*}$

$P'=W\Sigma W^{*}$