Moore–Penroses pseudoinvers
Moore–Penroses pseudoinvers är inom linjär algebra en generalisering av vissa egenskaper hos matrisinversen för icke-kvadratiska matriser, uppkallad efter Eliakim Hastings Moore och Roger Penrose, som beskrev den oberoende av varandra 1920 respektive 1955.
Definition redigera
Moore–Penroses pseudoinvers till en matris är en matris som uppfyller:
- ( behöver inte vara en enhetsmatris, men ska avbilda alla kolonnvektorer i på sig själva);
- ( is är en svag invers för den multiplikativa semigruppen);
- ( är en hermitesk matris)
- ( är också hermitesk).
är det hermiteska konjugatet till . För reella matriser är detta samma sak som transponatet.
Egenskaper redigera
Givet en matris med Moore–Penroses pseudoinvers , gäller följande:
- är unik.
- Om är en inverterbar matris, är .
- Pseudoinversen av pseudoinversen är den ursprungliga matrisen, .
- är en ortogonal projektion på s värderum.
- är en ortogonal projektion på s värderum.
- Pseudoinversen till en nollmatris är dess transponat.
Specialfall redigera
Ortonormala rader och kolonner redigera
Om har ortonormala kolonnvektorer ( ) eller ortonormala radvektorer ( så är ).
Linjärt oberoende kolonner och rader redigera
Om kolonnerna i är linjärt oberoende är inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:
- .
Det följer då att är vänsterinvers till .
Om raderna i är linjärt oberoende är inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:
- .
Det följer då att är högerinvers till .
Beräkning redigera
Singulärvärdesfaktorisering redigera
Om matrisen har singulärvärdesfaktoriseringen så fås . Pseudoinversen av , som är en "nästan diagonal" matris med matrisens singulärvärden i diagonalen, genom att ersätta varje element i diagonalen med . Exempel:
Tillämpningar redigera
Moore–Penroses pseudoinvers ger en minsta kvadrat-lösning till system av linjära ekvationer. Om systemet ges av ges minsta kvadrat-lösningen av .