Öppna huvudmenyn

Linjärt oberoende är ett centralt begrepp inom linjär algebra. En familj av vektorer sägs vara linjärt oberoende om ingen av dem kan uttryckas som en ändlig linjärkombination av de övriga. I R3 har vi till exempel kolonnvektorerna

De första tre vektorerna är linjärt oberoende men den fjärde vektorn kan skrivas som 9 gånger den första plus 5 gånger den andra plus 4 gånger den tredje vektorn. Alltså är de fyra vektorerna ej linjärt oberoende. De säges då vara linjärt beroende.

Innehåll

DefinitionRedigera

Låt   vara element i ett vektorrum V och låt   vara skalärer. Vektorerna är linjärt oberoende om ekvationen

 

endast har den triviala lösningen

 .

Mera allmänt gäller att en familj av vektorer   där A är en godtycklig indexmängd, är linjärt oberoende om ekvationen

 

där   är en ändlig delmängd av A, bara har den triviala lösningen

 

En mängd vektorer som är linjärt oberoende och som spänner upp ett visst vektorrum utgör en bas för vektorrummet.

Linjärt beroendeRedigera

Rn -vektorerna a1, a2,... am där m>= 2 är linjärt beroende om någon av dem är en linjärkombination av de andra.

En ekvivalent definition är att

 

utan att alla koefficienter ck är lika med noll.

Exempel 1Redigera

R2 -vektorerna a, b och c är linjärt beroende om det existerar skalärer c1 och c2 sådana att

 

eller

 

Exempel 2Redigera

Är de tre vektorerna

 

i R4 linjärt beroende?

Sök alla nollskilda skalärer  ,   och   sådana att

 

Ställ upp ekvationssystemet

 

vilket till exempel kan lösas med gausseliminering för att erhålla

 

där   kan väljas godtyckligt. Då dessa lösningar är icke-triviala är vektorerna linjärt beroende.

ExempelRedigera

För att bestämma om en uppsättning vektorer är linjärt oberoende finns det flera sätt att gå tillväga. Ett är att utnyttja definitionen genom att ställa upp ekvationssystemet   och undersöka dess lösningar. Finns icke-triviala lösningar är vektorerna linjärt beroende, annars linjärt oberoende.

För ett ändligtdimensionellt vektorrum V gäller att   är linjärt beroende om n > dim V, dimensionen av V.

För en mängd av vektorer,  , i ett vektorrum av dimension n, går det att avgöra om dessa är linjärt oberoende genom att bilda en matris av vektorerna (uttryckta i någon bas). Vektorerna är linjärt oberoende om och endast om matrisens determinant är nollskild. Ett exempel på hur detta kan göras:

Bilda en matris A av n vektorer i   genom att använda vektorerna som A:s kolonner. Vektorerna är linjärt oberoende om och endast om determinanten till A är nollskild.
Antag att matrisen blir
 
En linjärkombination av kolonnerna är
 
Är AX = 0 för någon nollskild vektor X? A:s determinant är
 
determinanten är nollskild saknar AX = 0 icke-triviala lösningar och vektorerna (1, 1) och (3, 2) är linjärt oberoende.

ReferenserRedigera

  • S. Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1996
  • G. Sparr, Linjär Algebra, Studentlitteratur, 1994
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.