ML-uppskattning

En ML-uppskattning är ett sätt inom komplex analys att ta fram en övre begränsning av en kurvintegral i det komplexa talplanet. Namnet kommer av att uppskattningen som ges är maximivärdet på kurvan (M) multiplicerat med kurvans längd (L).

Eftersom en kurvintegral i det komplexa talplanet kan visualiseras (om real- och imaginärdelarna behandlas separat) som arean under kurvan (svart) blir en ML-uppskattning (röd) större än kurvintegralen.

Uppskattningen lyder: Antag att $f$ är en komplexvärd funktion kontinuerlig på kurvan $C$ och att absolutvärdet $|f(z)|$ är begränsat på $C$. Då är

$\left|\int _{C}f(z)\ dz\right|\leq M\cdot L$

där $M=\max _{C}|f(z)|$ och $L$ är längden av kurvan $C$.

Bevis

Satsen kan bevisas med triangelolikheten för integraler:

$\left|\int _{C}f(z)\ dz\right|=\left|\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\ dt\right|\leq \int _{a}^{b}|f(\gamma (t))\gamma '(t)|\ dt\leq M\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\ dt=M\cdot L$