Båglängd är längden av en kroklinje, båge, mellan två givna punkter.[1]

Beräkning av båglängdRedigera

För att bestämma båglängden en hos en (icke-linjär) kurva delar man upp kurvan i olika segment med hjälp av räta linjer. Då det är lättare att beräkna längden hos en rät linje (Pythagoras sats) än en icke-rät linje. Den allra enklaste uppdelningen som går att göra är att sätta in en rät linje mellan kurvans ändpunkter   och   och sedan med hjälp av Pythagoras beräkna linjens längd. Då fås en ganska grov uppskattning av kurvans längd, problemet här är att vi inte kollat på hur kurvan ser ut mellan dessa punkter. Kurvan skulle till exempel kunna sticka iväg en bra bit uppåt i positiv y-riktning för att sedan vid ändpunkten   vara nere på negativt y-värde.

För att kunna få med detta i beräkningen av längden delas istället kurvan upp i väldigt många korta räta linjer. Där varje rät linje har sin startpunkt och sin ändpunkt på kurvan så att de går utmed ursprungliga kurvan. Om då avståndet mellan startpunkten och ändpunkten på de små räta linjerna görs väldigt litet, fås något som liknar den ursprungliga kurvan fast med räta linjer. För att sedan få fram längden av denna nya kurva med räta linjer beräknas bara längden av alla små kurvsegment och summerar dessa.

 
Bild 1, Uppskattning med räta linjer.

Om nu kurvan där längden ska beräknas är linjär innebär det att den redan är en rät linje. Om det skulle göras likadant på denna som på en icke-linjär kurva skulle det inte hjälpa speciellt mycket, då uppskattningen skulle bli likadan som kurvan själv – vilket betyder att det är mycket lättare att räkna ut båglängden hos en linjär kurva.

VisualiseringRedigera

Ett enkelt exempelRedigera

 
Bild 2, Uppskattning av båglängd för ett segment.

Betrakta kurvan  , om vi vill uppskatta längden av den på ett givet intervall kommer vi att behöva dela upp kurvan i små segment  . Där varje segment   fås av

 .

Om vi då kollar i bild 2 är det ganska lätt att föreställa sig att om   och   är väldigt små kommer   att ligga väldigt nära den ursprungliga kurvan. Detta skulle i sådant fall bara ett av dessa segment, för att få en bra uppskattning krävs det ett godtyckligt antal av dessa segment (beror lite på hur kurvan ser ut). Man borde alltså kunna uppskatta hela kurvans längd med

 

Mer generell visualiseringRedigera

Om vi kollar på en kurva   som ges av funktionen

 

Där f är en kontinuerlig funktion på det givna intervallet  . Om vi studerar bild 2 och tänker oss att vi vill göra den indelningen på hela kurvan  , vi vill alltså dela in intervallet   i mindre delintervall med så kallade delningspunkter

 

och motsvarande punker  , på kurvan.

Om vi då studerar två punkter   och   på kurvan   för  . Då kan man observera att längden av kurvan mellan dessa två punkter måste vara minst lika stor som längden mellan   och   som fås genom pythagoras sats, d.v.s.

 .

Alltså måste hela kurvan   ha en längd   som är minst lika stor som summan av längden av alla dessa små delintervall,

 .

Utöver detta bör även längden av   hur nära den riktiga längden som helst med sådana summor uppskattas, om indelningarna av   är tillräckligt små.

DefinitionRedigera

Definitionen av längden av en båglängd är[2]:

Om   är en kontinuerlig funktion på ett intervall  , definieras längden s av kurvan   med ekvation  ,  , genom att
 ,

Där   är mängden av alla summor   som kan bildas med delsningspunkter  .

Här existerar   som ett reellt tal enligt supremumaxiomet, ifall mängden   är begränsad uppåt. I detta fall säger man också att kurvan   är rektifierbar. Om   inte skulle vara begränsa uppåt, tolkas definitionen så att kurvan har oändlig längd. Antag nu att   även har kontinuerlig derivata   på intervallet  . Vi kan då visa att kurvan   har ändlig längd   och att den kan räknas ut med formeln

 

BevisRedigera

För varje val av delningspunkter   gäller enligt medelvärdessatsen för derivator, att

 

med något tal   för  . Vi sätter in detta i   och får

 .

Den sista summan här är en Riemannsumma för funktionen   på intervallet   och enligt en sats för Riemannsummor[3] gäller att om finheten

 

kommer motsvarande summas värde att gå mot integralen

 .

Kurvor på parameterformRedigera

Om vi istället betraktar kurvan

  och  ,  ,

där g och h är kontinuerliga funktioner på ett intervall  . Så kan man på liknande sätt som ovan bevisa att längden av denna kurva uppskattas med hjälp av integralen

 

ExempelRedigera

Exemplen är tagna ur Analys i en variabel, Forsling, Neymark

Ej på parameterformRedigera

Beräkna längden av kurvan[4]

 .

Vi använder oss av formeln

 

där  . Insatt i formeln får vi då

 

via partialbråksuppdelning fås

 


ParameterformRedigera

Beräkna längden av kurvan[5]

 

Vi använder oss då av formeln

 

där   och  . Alltså är   och  , om vi då sätter in detta formeln fås följande

 


 


 .

HistorisktRedigera

AntikenRedigera

Under större delen av den matematiska historien ansåg man, även de främsta matematikerna att det var omöjlig att beräkna längden av en icke-rät linje. Trots att Arkimedes hade tagit fram ett sätt för att få fram arean under en kurva med exhaustionsmetoden, trodde väldigt få att det var möjligt för icke-räta kurvor att ha definierbara längder. Det var för när man använde sig av uppskattning som man började göra framsteg inom detta område. Det man gjorde var att man började rita in polygoner under kurvorna och beräknade längderna på dessa. Ju mindre man gjorde dessa polygoner och ju mer man ritade in desto bättre uppskattning av längden fick man. Till exempel lyckades Arkimedes uppskatta   till   genom att rita in en polygon med många sidor i en cirkel.

1600-taletRedigera

Innan den formella utvecklingen av matematiska analysen hade Pierre de Fermat och Hendrik van Heuraet under 1600-talet tagit fram basen för den moderna integralformsom vi idag känner till. Det började med att Hendrik van Heuraet år 1659 publicerade ett bevis där han visade att problemet med att bestämma båglängden hos en kurva kunde överföras till att beräkna arean under kurvan. Som exempel hade han bestämt båglängden hos en parabel genom att först beräkna arean under kurvan.[6]År 1660 publicerade Fermat en mer generell teori angående detta, även han hade kommit fram till samma resultat. [7]

 
Bild 3, Fermats metod för att bestämma bådlängden.

Fermats metod för att bestämma båglängden byggde på hans tidigare verk angående tangenter, där han använde sig av kurvan

 .

Vars tangent i punkten   har lutningen

 .

Alltså har tangentlinjen i punkten   ekvationen

 .

Sedan ökade han   med ett litet tal  , vilket medför att segmentet AC (bild 3) blir en relativt bra uppskattning av kurvans längd från A till D. För att då finna längden av segmentet AC använde han sig av Pythagoras sats

 .

När man då tar kvadratroten ur detta får man

 .

För att då uppskatta kurvans båglängd adderade Fermat flera korta segment och på så sätt fick han en relativt bra uppskattning av längden.

KällorRedigera

  1. ^ Båglängd, längden Svensk uppslagsbok 1955
  2. ^ Forsling, Neymark (2011), Matematisk analys i en variabel, s. 491-495, Liber, ISBN 978-91-47-10023-1
  3. ^ Matematisk analys i en variabel, Forsling och Neymark 2011, s. 299
  4. ^ Matematisk analys i en variabel, Forsling och Neymark 2011, uppgift 7.10a, s. 321
  5. ^ Matematisk analys i en variabel, Forsling och Neymark 2011, exempeluppgift 7.7, s. 319
  6. ^ Henricus van Heuraet, "Epistola de transmutatione curvarum linearum in rectas" (Letter on the transformation of curved lines into right ones [i.e., Letter on the rectification of curves]), Renati Des-Cartes Geometria, 2nd ed. (Amsterdam ["Amstelædami"], (Netherlands): Louis & Daniel Elzevir, 1659), pages 517-520.
  7. ^ "M.P.E.A.S." (pseudonym of Fermat) De Linearum Curvarum cum Lineis Rectis Comparatione Dissertatio Geometrica (Toulouse [Tolosæ], France: Arnaud Colomer, 1660).
  • Farouki, Rida T. (1999). Curves from motion, motion from curves. In P-J. Laurent, P. Sablonniere, and L. L. Schumaker (Eds.), Curve and Surface Design: Saint-Malo 1999, pp. 63–90, Vanderbilt Univ. Press. ISBN 0-8265-1356-5.

Externa länkarRedigera