Öppna huvudmenyn

Komplexa tal

tal som kan skrivas på formen a + bi, där a och b är reella tal och i är den imaginära enheten
(Omdirigerad från Komplexa talplanet)
Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (Re) och en imaginärdel (Im)

De komplexa talen kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är den imaginära enheten med egenskapen

Om b ≠ 0 så är z ett icke reellt komplext tal (till exempel 2 + 4i), och om a = 0 kallas talet rent imaginärt (till exempel 4i).[1]

Mängden av komplexa tal betecknas med C[2] eller ℂ, och utgör en kropp.

DefinitionerRedigera

De första matematikerna som på 1500-talet började räkna med komplexa tal ansåg att kvadratrötter ur negativa tal egentligen inte fanns, utan var "imaginära" (det vill säga "inbillade"), medan de riktiga talen var "reella" (alltså "verkliga"). Detta språkbruk lever kvar, trots att det sedan länge är känt att komplexa tal är precis lika "verkliga" som de reella talen. Mängden av komplexa tal C kan nämligen formellt definieras med hjälp av enbart reella tal och de vanliga aritmetiska operationerna för dessa. Man definierar då[3] C som mängden R2av ordnade talpar (a, b), där a och b tillhör den reella talmängden R, tillsammans med operatorerna + och ·, vilka ges av föreskrifterna

 

och

 .

Definierad på detta sätt utgör C en (algebraisk) kropp, i likhet med mängden R av reella tal. Det innebär att de fyra vanliga räknesätten, alltså addition, subtraktion, multiplikation och division, är definierade på C och uppfyller de vanliga reglerna (så att bland annat addition och multiplikation är associativa och kommutativa operationer, multiplikation är distributiv med avseende på addition och subtraktion, och subtraktion respektive division kan ses som addition respektive multiplikation med inversa element).

Till skillnad från de reella talen saknar de komplexa talen en naturlig ordning. De reella talen kan tänkas ordnade på en tallinje, med de mindre talen till vänster om de större talen. De komplexa talen får man i stället tänka sig i ett talplan, där talet (a, b) tolkas som punkten med koordinaterna a och b. Dessa koordinater kallas för realdelen respektive imaginärdelen för talet (a, b). Observera särskilt att både realdelen a och imaginärdelen b är reella tal.

Det komplexa talplanet kallas också för Arganddiagrammet.

Delmängden av de komplexa talen av typen (a, 0) motsvarar de reella talen, så att (a, 0) kan "identifieras med" a och den imaginära enheten i är det komplexa talet (0, 1). Med dessa konventioner och med definitionerna av multiplikation och addition ovan, får man

 

Alla tal (0, b), det vill säga alla tal b⋅i, sägs vara rent imaginära. De rent imaginära talen blandas ibland ihop med "imaginärdelar", men imaginärdelen av det rent imaginära talet bi är enligt definitionen ovan det reella talet b.

Rektangulär formRedigera

Representationen av ett komplext tal på formen

 

kallas rektangulär form.

För

 

är projektionsfunktionerna definierade som

  realdelen av z

och

  imaginärdelen av z.

Polär formRedigera

 
Ett komplext tal framställt i polär form där r är talets absolutbelopp och φ är talets argument

Enligt Eulers formel gäller

 

vilket innebär att ett allmänt komplext tal kan skrivas som

 

där r, absolutbeloppet, är avståndet till origo i det komplexa talplanet och φ är vinkeln mellan den reella axeln och en linje genom origo och talets punkt i det komplexa talplanet.

Vinkeln φ kallas argumentet (arg) för

 

och bestäms enligt

 

Intervallet för argumentet är (−π, π], vilket kallas principalargumentet, kan mappas till [0, 2π) genom att 2π adderas till negativa värden. Argumentet kan omfatta alla intervall som är en heltalsmultipel av 2π.

För datorbaserade beräkningar kan det vara lämpligt att använda funktionen atan2(b, a) om denna är implementerad.

AbsolutbeloppRedigera

Huvudartikel: Absolutbelopp

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

 

eller

 

För absolutbeloppet gäller

 
 
  (triangelolikheten)
 
 

KonjugatRedigera

Konjugatet till ett komplext tal z = a + bi definieras som

 

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:

Om talet är givet på polär form kan konjugatet bildas genom teckenbyte för argumentet:

 

För konjugatet gäller

 
 
 
 

De reella och imaginära delarna kan extraheras med hjälp av konjugatet:

 
 

RäknereglerRedigera

 
Komplex addition
 
Multiplikation med i motsvarar en rotation av 90 grader moturs. Division med i motsvarar en rotation av 90 grader medurs

Rektangulär formRedigera

AdditionRedigera

 

De reella och de imaginära delarna adderas var för sig.

SubtraktionRedigera

 

I analogi med addition, subtraheras de reella och imaginära delarna var för sig.

MultiplikationRedigera

 

DivisionRedigera

 

Exempel:

 

Bråket förlängs med nämnarens konjugat. Därmed elimineras nämnarens imaginära del och kvoten fås på formen a + bi.

Polär formRedigera

Låt

 

Då gäller enligt räknereglerna för exponentiella tal

  •  
  •  

Av detta följer

  •  
  •  

Exempel: Om z skrivs i polär form som

 

är n:te roten av z

 

ÖvrigtRedigera

För beräkningar utförda för hand är det lämpligt att använda den rektangulära formen för addition och subtraktion och den polära formen för multiplikation och division.

Funktioner av komplexa talRedigera

 
Färghjulsgraf av  . Svarta partier representerar komplexa funktionsvärden som har stora absolutbelopp

De analytiska funktioner som är definierade för de reella talen är också definierade för de komplexa talen. Några av dem är entydigt definierade, andra är flervärda funktioner.

ExponentialfunktionenRedigera

Enligt de kända serieutvecklingarna för reella x av

 
 
 

framgår att exponentialfunktionen ez för komplexa z enligt

 

kan definieras genom serien

 

Serien är konvergent för alla z.

LogaritmfunktionenRedigera

Utifrån exponentialfunktionen kan den komplexa logaritmen definieras och är en flervärd funktion.

Den komplexa logaritmen definieras som

 

och de flesta logaritmlagar som gäller för de reella talen gäller också för den komplexa logaritmen.

Med hjälp av logaritmfunktionen kan till exempel roten av komplexa tal bildas då

 

vilket lätt kan beräknas.

Observera att med denna definition, erhålls två lösningar även när z är ett reellt tal.

Trigonometriska funktionerRedigera

Trigonometriska funktioner av komplexa tal är entydigt definierade enligt

 
 
 

Funktionernas inverser blir som för reella tal flervärda funktioner.

Seriers konvergensRedigera

Antag en summa av n komplexa tal:

 

Om följden   har ett gränsvärde S är den oändliga serien   konvergent med summan S:

 

Termerna cj kan skrivas

 

och således

 

Serien   konvergerar, om och endast om, delserierna konvergerar och då är

 

MatriserRedigera

2×2-matriser av formen

 

kan användas för att representera komplexa tal där E är en enhetsmatris och matrisen I motsvarar den imaginära enheten. Då gäller

 
 
 
 

Reella tal motsvaras av diagonalmatrisen

 

De linjära avbildningar som svarar mot dessa matriser spänner upp ℝ².

AnvändningsområdenRedigera

Komplexa tal är grundläggande för delar av matematiken. Enligt algebrans fundamentalsats har en ekvation av typen p(x) = 0, där p är ett polynom av graden n, exakt n komplexa rötter. Detta medför att de komplexa talen utgör en algebraiskt sluten kropp. Om p endast har reella koefficienter och x är en rot till p(x) = 0, så är även konjugatet till x en rot.

Komplexa tal inom fysikenRedigera

Komplexa tal är mycket användbara inom fysiken, till exempel för att beskriva vågrörelser eller svängningar inom elektromagnetismen. Detta på grund av att man med komplexa tal samtidigt hanterar både absolutbelopp och fasvinkel, vilket är till stor nytta för att beräkna belopp och fasförskjutningar för spänningar och strömmar.

Med jω-metoden (j-omega-metoden) behandlas växelströmsproblem i nära analogi med motsvarande likströmsproblem genom införande av komplexa impedanser.

Inom elektrotekniken används ofta komplexa tal i olika slag av transformer, som till exempel Fouriertransformen och Laplacetransformen, för att underlätta vid beräkningar av växelströmsförlopp.

Inom kvantmekaniken är de grundläggande vågfunktionerna komplexa.

I strömningsmekanik används komplexa funktioner för konforma avbildningar.

HistorikRedigera

Under 1500-talet förekom kvadratrötter ur negativa tal i de lösningar till tredje- och fjärdegradsekvationer som upptäcktes av de italienska matematikerna Niccolo Fontana Tartaglia och Gerolamo Cardano. Även om man bara var intresserade av reella lösningar, ledde dessa formler ibland till sådana kvadratrötter som mellanresultat.

Namnet imaginära för sådana tal myntades av René Descartes1600-talet och man betraktade dem länge med stor misstänksamhet. Komplexa tal accepterades först efter att deras geometriska tolkning hade beskrivits och publicerats av Caspar Wessel 1799. Denna beskrivning återupptäcktes flera år senare av bland andra Carl Friedrich Gauss. Den moderna definitionen som ett par av reella tal infördes under 1800-talet av William Rowan Hamilton.

Flera av Leonhard Eulers mest betydande upptäckter vilar väsentligt på införande av komplexa tal. Abels skapelse, de elliptiska funktionerna, förde än mer de komplexa talen i förgrunden inom matematisk forskning. Så blev ytterligare fallet, när den moderna funktionsteorin framväxte ur Abels, Cauchys, Weierstrass och Riemanns arbeten.

Carl Friedrich Gauss och Karl Weierstrass arbeten har visat, att införande av högre komplexa tal, bildade av flera än två grundenheter, inte medför fördelar jämförliga med dem som vinns genom införande av de av två grundenheter bildade komplexa talen.[4]

Likheter och skillnader med vektorerRedigera

Komplexa tal och tvådimensionella reella vektorer adderas enligt samma regler (är isomorfa under addition), absolutbeloppen är desamma, och båda kan skalas med ett reellt tal.

Vektorer har en inre produkt som är ett reellt tal. För komplexa tal är det enkelt att skapa en funktion motsvarande skalärprodukten, men en sådan är inte en bärande del av de komplexa talens struktur. En möjlig sådan funktion är

 .

Den viktigaste skillnaden är att multiplikation inte är definierad för vektorer i den meningen att en multiplikation av två vektorer resulterar i en tredje vektor.

Se ävenRedigera

 
Den här artikeln ingår i boken: 
Matematik 

ReferenserRedigera

  • Complex Analysis for Mathematics and Engineering av John H. Mathews & Russel W. Howell

NoterRedigera

  1. ^ Weisstein, Eric W., "Complex Number" (engelska), MathWorld.
  2. ^ http://www.math.kth.se/~skjelnes/KURS/GYMNAS/10/Forelesning220311Gymnas.pdf   PDF
  3. ^ ”Komplexa tal”. http://www.users.abo.fi/togustaf/DiffE/KomplexaTal.pdf. Läst 14 oktober 2013.    PDF
  4. ^ Komplexa tal i Nordisk familjebok (andra upplagan, 1911)
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.