Generaliserad hypergeometrisk funktion

Inom matematiken är en generaliserad hypergeometrisk serie en potensserie där kvoten av två konsekutiva koefficienter är en rationell funktion. Om serien konvergerar definierar den en generaliserad hypergeometrisk funktion. Många speciella funktioner kan skrivas som specialfall av generaliserade hypergeometriska funktionen.

DefinitionRedigera

Definiera Pochhammersymbolen:

 

Då definieras generaliserade hypergeometriska funktionen som

 

SpecialfallRedigera

 
 
 
 
 

Serien 1F0Redigera

Denna serie kan skrivas i sluten form som

 

Differentialekvationen för denna funktion är

 

eller

 

vars alla lösningar ges av

 

där k är en konstant.

Serien 0F1Redigera

Funktioner av formen   är relaterade till Besselfunktioner enligt formeln

 

Differentialekvationen för denna funktion är

 

eller

 

Serien 2F0Redigera

Denna serie förekokmmer i samband med exponentiella integralen Ei(z).

Serien 3F1Redigera

Denna serie förekommer i teorin av Besselfunktioner. Den kan användas till att räkna värden på Besselfunktioner med stora argument.

EgenskaperRedigera

Eulers integraltransformationRedigera

Fölkande identitet är väldigt användbar:

 

DifferentieringRedigera

Generaliserade hypergeometriska funktionen satisfierar

 

Genom att kombinera dessa får man följande differentialekvation satisfierad av w = pFq:

 

IdentiteterRedigera

Saalschützs satsRedigera

 

Dixons identitetRedigera

Dixons identitet ger summan av en viss 3F2-serie vid z=1:

 

Dougalls formelRedigera

Dougalls formel är formeln

 

där m inte är ett icke-negativt heltal och

 

Många andra formler för speciella värden av hypergeometriska funktioner kan fås som specialfall av Dougalls formel.

Generaliseringar av Kummers transformationer och identiteter för 2F2Redigera

Identitet 1.

 

där

 

Identitet 2.

 

som relaterar Besselfunktioner till 2F2; det här reducerar sig till Kummers andra formel för b = 2a:

Identitet 3.

 .

Identitet 4.

 

som är en ändlig summa om b-d är ett icke-negativt heltal.

Kummers relationRedigera

Kummers relation är

 

Clausens formelRedigera

Clausens formel

 

användes av de Branges till att bevisa Bieberbachförmodan.

GeneraliseringarRedigera

Bilaterala hypergeometriska serier är en generalisering av hypergeometriska serier där summan är över alla heltal, inte bara de positiva.

Fox–Wrights funktion är en generalisering av generaliserade hypergeometriska funktionen där Pochhammersymbolerna i serien ersätts med gammafunktioner av linjära polynom av n.

KällorRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Generalized hypergeometric function, 17 februari 2014.