Besselfunktioner av första slaget,
Jα (x ), för heltalsordningarna
α = 0, 1, 2
Besselfunktionerna av första slaget definieras av:
J
α
(
x
)
=
∑
m
=
0
∞
(
−
1
)
m
m
!
Γ
(
m
+
α
+
1
)
(
x
2
)
2
m
+
α
{\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}
.Om
n
{\displaystyle n}
är ett heltal kan Besselfunktionerna definieras som integralen
J
n
(
x
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
cos
(
n
t
−
x
sin
t
)
d
t
{\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(nt-x\sin t)dt}
.En integral för alla värden på α är
J
α
(
x
)
=
1
π
∫
0
π
cos
(
α
τ
−
x
sin
τ
)
d
τ
−
sin
(
α
π
)
π
∫
0
∞
e
−
x
sinh
(
t
)
−
α
t
d
t
.
{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh(t)-\alpha t}\,dt.}
Besselfunktioner av det andra slaget,
Yα (
x ), för heltalsordningarna
α = 0, 1, 2
Differentialekvationen har två linjärt oberoende lösningar och därför behövs även Besselfunktioner av andra slaget :
Y
α
(
x
)
=
J
α
(
x
)
cos
(
α
π
)
−
J
−
α
(
x
)
sin
(
α
π
)
{\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}}
.
Y
α
(
x
)
{\displaystyle Y_{\alpha }(x)}
är inte begränsad då
x
→
0
{\displaystyle x\to 0}
, vilket gör att man ofta kan bortse från denna lösning av fysikaliska skäl. För heltal n måste Besselfunkttionen av andra slaget definieras som gränsvärdet
Y
n
(
x
)
=
lim
ν
→
n
Y
ν
(
x
)
{\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\nu \to n}Y_{\nu }(x)}
.Gränsvärdet ges av uttrycket
Y
n
(
x
)
=
2
π
(
γ
+
ln
x
2
)
J
n
(
x
)
−
1
π
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
k
−
1
)
!
k
!
(
x
2
)
2
k
−
n
−
1
π
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
H
k
+
H
k
+
n
k
!
(
n
+
k
)
!
(
x
2
)
2
k
+
n
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{n}(x)=\,&{\frac {2}{\pi }}\left(\gamma +\ln {\frac {x}{2}}\right)J_{n}(x)-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2k-n}\\&{}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {H_{k}+H_{k+n}}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2k+n}\end{aligned}}}
där
γ
{\displaystyle \gamma }
är Eulers konstant och
H
n
{\displaystyle H_{n}}
är det n :te harmoniska talet .
En integralrepresentation för Re(x ) > 0 är
Y
n
(
x
)
=
1
π
∫
0
π
sin
(
x
sin
θ
−
n
θ
)
d
θ
−
1
π
∫
0
∞
[
e
n
t
+
(
−
1
)
n
e
−
n
t
]
e
−
x
sinh
t
d
t
.
{\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right]e^{-x\sinh t}\,dt.}
Sfäriska Besselfuntioner Redigera
I samband med Laplaces ekvation i sfäriska koordinater uppkommer en liknande ekvation för den radiella delen:
d
2
u
d
x
2
+
2
x
d
u
d
x
+
(
1
−
n
(
n
+
1
)
x
2
)
u
=
0.
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {du}{dx}}+\left(1-{\frac {n(n+1)}{x^{2}}}\right)u=0.}
Denna har de sfäriska Besselfunktionerna som lösningar.
j
n
(
x
)
=
π
2
x
J
n
+
1
/
2
(
x
)
,
{\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x),}
y
n
(
x
)
=
π
2
x
Y
n
+
1
/
2
(
x
)
=
(
−
1
)
n
+
1
π
2
x
J
−
n
−
1
/
2
(
x
)
.
{\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-1/2}(x).}
Se vidare Klotytefunktion .
En annan viktig formulering av två linjärt oberoende lösningar på Bessels ekvation är Hankelfunktionerna
H α (1) (x ) och H α (2) (x ) som definieras som
H
α
(
1
)
(
x
)
=
J
α
(
x
)
+
i
Y
α
(
x
)
{\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x)}
H
α
(
2
)
(
x
)
=
J
α
(
x
)
−
i
Y
α
(
x
)
{\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x)}
där i är imaginära enheten . De är även kända som Besselfunktioner av tredje slaget . De är uppkallade efter Hermann Hankel .
Hankelfunktionerna kan uttryckas som
H
α
(
1
)
(
x
)
=
J
−
α
(
x
)
−
e
−
α
π
i
J
α
(
x
)
i
sin
(
α
π
)
{\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin(\alpha \pi )}}}
H
α
(
2
)
(
x
)
=
J
−
α
(
x
)
−
e
α
π
i
J
α
(
x
)
−
i
sin
(
α
π
)
.
{\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin(\alpha \pi )}}.}
Om α är ett heltal måste gränsvädet räknas. Oberoende om α är ett heltal eller inte gäller följande relationer:
H
−
α
(
1
)
(
x
)
=
e
α
π
i
H
α
(
1
)
(
x
)
{\displaystyle H_{-\alpha }^{(1)}(x)=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x)}
H
−
α
(
2
)
(
x
)
=
e
−
α
π
i
H
α
(
2
)
(
x
)
.
{\displaystyle H_{-\alpha }^{(2)}(x)=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).}
Modifierade Besselfunktioner Redigera
Ett viktigt specialfall av Besselfunktionerna är set då argumentet är rent imaginärt. I det fallet kallas funktionerna för modifierade Besselfunktioner (eller ibland för hyperboliska Besselfunktioner ) av första och andra slaget , och definieras som
I
α
(
x
)
=
i
−
α
J
α
(
i
x
)
=
∑
m
=
0
∞
1
m
!
Γ
(
m
+
α
+
1
)
(
x
2
)
2
m
+
α
{\displaystyle I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }}
K
α
(
x
)
=
π
2
I
−
α
(
x
)
−
I
α
(
x
)
sin
(
α
π
)
{\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}}
De är reellvärda för positiva reella argument x .
Om −π < arg(x ) ≤ π/ är
K
α
(
x
)
=
π
2
i
α
+
1
H
α
(
1
)
(
i
x
)
{\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)}
,och om −π/2 < arg(x ) ≤ π är
K
α
(
x
)
=
π
2
(
−
i
)
α
+
1
H
α
(
2
)
(
−
i
x
)
{\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)}
.För −π < arg(z ) ≤ π/2 är
J
α
(
i
z
)
=
e
α
i
π
2
I
α
(
z
)
Y
α
(
i
z
)
=
e
(
α
+
1
)
i
π
2
I
α
(
z
)
−
2
π
e
−
α
i
π
2
K
α
(
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha i\pi }{2}}I_{\alpha }(z)\\Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)i\pi }{2}}I_{\alpha }(z)-{\frac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha i\pi }{2}}}K_{\alpha }(z)\end{aligned}}}
I α (x ) och K α (x ) är två linjärt oberoende lösningar av modifierade Besselekvationen
x
2
d
2
y
d
x
2
+
x
d
y
d
x
−
(
x
2
+
α
2
)
y
=
0.
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0.}
Två integralformler för Re(x ) > 0 är
I
α
(
x
)
=
1
π
∫
0
π
exp
(
x
cos
(
θ
)
)
cos
(
α
θ
)
d
θ
−
sin
(
α
π
)
π
∫
0
∞
exp
(
−
x
cosh
t
−
α
t
)
d
t
{\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\exp(x\cos(\theta ))\cos(\alpha \theta )\,d\theta -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp(-x\cosh t-\alpha t)\,dt}
K
α
(
x
)
=
∫
0
∞
exp
(
−
x
cosh
t
)
cosh
(
α
t
)
d
t
.
{\displaystyle K_{\alpha }(x)=\int _{0}^{\infty }\exp(-x\cosh t)\cosh(\alpha t)\,dt.}
Modifierade Besselfunktionerna K 1/3 and K 2/3 kan skrivas som de snabbt konvergerande integralerna
K
1
3
(
ξ
)
=
3
∫
0
∞
exp
[
−
ξ
(
1
+
4
x
2
3
)
1
+
x
2
3
]
d
x
K
2
3
(
ξ
)
=
1
3
∫
0
∞
3
+
2
x
2
1
+
x
2
3
exp
[
−
ξ
(
1
+
4
x
2
3
)
1
+
x
2
3
]
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\,\int _{0}^{\infty }\,\exp \left[-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\,\right]\,dx\\K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,\int _{0}^{\infty }\,{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left[-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\,\right]\,dx\end{aligned}}}
Modifierade Besselfunktionerna av andra slaget har även kallats för:
Riccati-Besselfunktioner Redigera
Riccati-Besselfunktionerna definieras som
S
n
(
x
)
=
x
j
n
(
x
)
=
π
x
2
J
n
+
1
2
(
x
)
{\displaystyle S_{n}(x)=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}\,J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}
C
n
(
x
)
=
−
x
y
n
(
x
)
=
−
π
x
2
Y
n
+
1
2
(
x
)
{\displaystyle C_{n}(x)=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}\,Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}
ξ
n
(
x
)
=
x
h
n
(
1
)
(
x
)
=
π
x
2
H
n
+
1
2
(
1
)
(
x
)
=
S
n
(
x
)
−
i
C
n
(
x
)
{\displaystyle \xi _{n}(x)=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}\,H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)}
ζ
n
(
x
)
=
x
h
n
(
2
)
(
x
)
=
π
x
2
H
n
+
1
2
(
2
)
(
x
)
=
S
n
(
x
)
+
i
C
n
(
x
)
.
{\displaystyle \zeta _{n}(x)=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}\,H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x).}
De satisfierar differentialekvationen
x
2
d
2
y
d
x
2
+
[
x
2
−
n
(
n
+
1
)
]
y
=
0.
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.}