Med hjälp av addition och multiplikation definieras ett komplext vektorrum , V ⊆ C n , {\displaystyle ,V\subseteq \mathbb {C} ^{n},} av följande:[ 1]
∀ u , v ∈ V , {\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V,} gäller att u + v ∈ V . {\displaystyle {\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}\in V.}
∀ u , v , w ∈ V , {\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V,} gäller att u + ( v + w ) = ( u + v ) + w . {\displaystyle {\boldsymbol {u}}+({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})=({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})+{\boldsymbol {w}}.}
∃ 0 ∈ V {\displaystyle \exists {\boldsymbol {0}}\in V} sådant att ∀ u ∈ V , {\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}}\in V,} gäller att u + 0 = 0 + u = u . {\displaystyle {\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}+{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}.}
∀ u ∈ V , ∃ − u ∈ V , {\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}}\in V,\exists -{\boldsymbol {u}}\in V,} sådant att u + ( − u ) = 0 . {\displaystyle {\boldsymbol {u}}+(-{\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {0}}.}
∀ u , v ∈ V , {\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V,} gäller att u + v = v + u . {\displaystyle {\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {u}}.}
∀ α ∈ C {\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {C} } och u ∈ V , {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in V,} gäller att α u ∈ V . {\displaystyle \alpha {\boldsymbol {u}}\in V.}
∀ α ∈ C {\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {C} } och u , v ∈ V , {\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V,} gäller att α ( u + v ) = α u + α v . {\displaystyle \alpha ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})=\alpha {\boldsymbol {u}}+\alpha {\boldsymbol {v}}.}
∀ α , β ∈ C {\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {C} } och u ∈ V , {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in V,} gäller att ( α + β ) u = α u + β u . {\displaystyle (\alpha +\beta ){\boldsymbol {u}}=\alpha {\boldsymbol {u}}+\beta {\boldsymbol {u}}.}
∀ α , β ∈ C {\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {C} } och u ∈ V , {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in V,} gäller att ( α β ) u = α ( β u ) . {\displaystyle (\alpha \beta ){\boldsymbol {u}}=\alpha (\beta {\boldsymbol {u}}).}
∀ u ∈ V , {\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}}\in V,} gäller att 1 u = u . {\displaystyle 1{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}.} Komplexa underrum definieras på samma sätt som reella underum .
Definitionen av skalärprodukt i ett komplext vektorrum är likt den för reella vektorrum.[ 2]
Om
∀ u , v ∈ C n {\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in \mathbb {C} ^{n}} så är
u ⋅ v = u 1 v ¯ 1 + u 2 v ¯ 2 + . . . + u n v ¯ n , {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}=u_{1}{\overline {v}}_{1}+u_{2}{\overline {v}}_{2}+...+u_{n}{\overline {v}}_{n},} där
v ¯ 1 , . . . , v ¯ n {\displaystyle {\overline {v}}_{1},...,{\overline {v}}_{n}} är komplexkonjugatet till
v 1 , . . . , v n {\displaystyle v_{1},...,v_{n}} Notera att om u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} och v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} skulle tillhöra R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} är definitionen av skalärprodukt den samma som för reella vektorrum , ty komplexkonjugatet förändras inte om imaginärdelen av det komplexa talet är noll.
Egenskaper för skalärprodukt
redigera
Låt u , v {\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}} och w {\displaystyle {\boldsymbol {w}}} vara vektorer i C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} och α {\displaystyle \alpha } vara ett komplext tal . Då gäller följande egenskaper för skalärprodukt:
u ⋅ v = v ⋅ u ¯ {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}={\overline {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}}}}
( u + v ) ⋅ w = u ⋅ v + u ⋅ w {\displaystyle ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})\cdot {\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {w}}}
( α u ) ⋅ v = α ( u ⋅ v ) {\displaystyle (\alpha {\boldsymbol {u}})\cdot {\boldsymbol {v}}=\alpha ({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})}
u ⋅ ( α v ) = α ¯ ( u ⋅ v ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot (\alpha {\boldsymbol {v}})={\overline {\alpha }}({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})}
u ⋅ u ≥ 0 {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\geq 0}
u ⋅ u = 0 ⇔ u = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}=0\Leftrightarrow {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}} Definitionen och egenskaperna ovan är den vanligaste definition för skalärprodukt i ett komplext vektorrum. Men den kan bli mer generell genom några få symboländringar och kallas då komplex inre produkt . Ett komplext vektorrum med en komplex inre produkt kallas komplext inre produktrum eller unitärt rum .
Definitionen av längden (eller normen) av en vektor i ett komplext rum är samma som för ett reellt rum.
| | u | | = u ⋅ u = u 1 u 1 ¯ + u 2 u 2 ¯ + . . . + u n u n ¯ {\displaystyle ||{\boldsymbol {u}}||={\sqrt {{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}}}={\sqrt {u_{1}{\overline {u_{1}}}+u_{2}{\overline {u_{2}}}+...+u_{n}{\overline {u_{n}}}}}} Notera att u n u n ¯ {\displaystyle u_{n}{\overline {u_{n}}}} kan med hjälp av konjugatregeln skrivas som
u n u n ¯ = ( a n + b n i ) ( a n − b n i ) = a n 2 − b n 2 i 2 = a n 2 + b n 2 ≥ 0. {\displaystyle u_{n}{\overline {u_{n}}}=(a_{n}+b_{n}i)(a_{n}-b_{n}i)=a_{n}^{2}-b_{n}^{2}i^{2}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\geq 0.} Därmed har vi visat egenskap nummer 5 ovan.
Avbildningar i komplexa vektorrum kan likt avbildningar i reella vektorrum beskrivas av matriser, till exempel som
A = ( a 11 + b 11 i ⋯ a n 1 + b n 1 i ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 + b m 1 i ⋯ a m n + b m n i ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}i&\cdots &a_{n1}+b_{n1}i\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}i&\cdots &a_{mn}+b_{mn}i\end{pmatrix}}} I reella vektorrum är ortogonala och symmetriska matriser väsentliga. I komplexa vektorrum finns motsvarande matriser. Dessa kallas unitära respektive hermiteska matriser .[ 3]
En komplex matris A , {\displaystyle \,A,} kallas unitär om
A A ∗ = I {\displaystyle AA^{*}=I} där A ∗ = A ¯ T {\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{T}} det vill säga, A är lika med sitt komplexkonjugerade transponat.
Om A , B {\displaystyle A,\,B} är komplexa matriser och α {\displaystyle \alpha } är ett komplext tal gäller
( A ∗ ) ∗ = A {\displaystyle (A^{*})^{*}=A}
( A + B ) ∗ = A ∗ + b ∗ {\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+b^{*}}
( α A ) ∗ = α ¯ A ∗ {\displaystyle (\alpha A)^{*}={\bar {\alpha }}A^{*}}
( A B ) ∗ = B ∗ A ∗ {\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}} Vidare gäller att
en n × {\displaystyle \times } n matris A är unitär ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } A :s radvektorer (eller kolonnvektorer) är en ortogonal bas i C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} . Hermitesk matris
redigera
En komplex kvadratisk matris A , {\displaystyle \,A,} kallas hermitesk om
A = A ∗ {\displaystyle A=A^{*}} Sats 1
Om A {\displaystyle A} är en hermitek matris, så är dess egenvärden reella.
Bevis
Om λ {\displaystyle \lambda } är ett egenvärde till A {\displaystyle A} med tillhörande egenvektor v = ( a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i ⋮ a n + b n i ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}i\\a_{2}+b_{2}i\\\vdots \\a_{n}+b_{n}i\end{pmatrix}}} .
Om ekvationen A v = λ v {\displaystyle A{\boldsymbol {v}}=\lambda {\boldsymbol {v}}} multipliceras med v ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {v}}^{*}} så fås
v ∗ A v = v ∗ λ v = λ ( v ∗ v ) = λ ( ( a 1 − b 1 i a 2 − b 2 i . . . a n − b n i ) ( a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i ⋮ a n + b n i ) ) = {\displaystyle {\boldsymbol {v}}^{*}A{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}^{*}\lambda {\boldsymbol {v}}=\lambda ({\boldsymbol {v}}^{*}{\boldsymbol {v}})=\lambda \left({\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}i&a_{2}-b_{2}i&...&a_{n}-b_{n}i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}i\\a_{2}+b_{2}i\\\vdots \\a_{n}+b_{n}i\end{pmatrix}}\right)=}
= λ ( a 1 2 + b 1 2 + a 2 2 + b 2 2 + . . . + a n 2 + b n 2 ) {\displaystyle =\lambda (a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}+b_{n}^{2})} Vidare framgår att
( v ∗ A v ) ∗ = v ∗ A ∗ ( v ∗ ) ∗ = v ∗ A v . {\displaystyle ({\boldsymbol {v}}^{*}A{\boldsymbol {v}})^{*}={\boldsymbol {v}}^{*}A^{*}({\boldsymbol {v}}^{*})^{*}={\boldsymbol {v}}^{*}A{\boldsymbol {v}}.} Av likheten
v ∗ A v = λ ( a 1 2 + b 1 2 + a 2 2 + b 2 2 + . . . + a n 2 + b n 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}^{*}A{\boldsymbol {v}}=\lambda (a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}+b_{n}^{2})} och att v ∗ A v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}^{*}A{\boldsymbol {v}}} är en hermitesk 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} matris följer att λ {\displaystyle \lambda } måste vara reell.
VSB .
Det finns en liknande sats för reella vektorrum, men i det fallet måste matrisen vara symmetrisk istället för hermitesk.
Sats 2
Om A {\displaystyle A} är en n × n {\displaystyle n\times n} hermitesk matris så är
egenvektorerna för motsvarande egenvärden ortogonala.
A {\displaystyle A} är unitärt diagonaliserbar.Bevis (1)
Låt v 1 {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}} och v 2 {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{2}} vara egenvektorer till motsvarande egenvärden, λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} och λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} .
Eftersom A v 1 = λ v 1 {\displaystyle A{\boldsymbol {v}}_{1}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{1}} och A v 2 = λ v 2 {\displaystyle A{\boldsymbol {v}}_{2}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{2}} får vi följande ekvationer från matrisprodukten ( A v 1 ) ∗ v 2 {\displaystyle (A{\boldsymbol {v}}_{1})^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}}
( A v 1 ) ∗ v 2 = v 1 ∗ A ∗ v 2 = v 1 ∗ A v 2 = v 1 ∗ λ 2 v 2 = λ 2 v 1 ∗ v 2 {\displaystyle (A{\boldsymbol {v}}_{1})^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {v}}_{1}^{*}A^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {v}}_{1}^{*}A{\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {v}}_{1}^{*}\lambda _{2}{\boldsymbol {v}}_{2}=\lambda _{2}{\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}}
( A v 1 ) ∗ v 2 = ( λ 1 v 1 ) ∗ v 2 = v 1 ∗ λ 1 v 2 = λ 1 v 1 ∗ v 2 {\displaystyle (A{\boldsymbol {v}}_{1})^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}=(\lambda _{1}{\boldsymbol {v}}_{1})^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {v}}_{1}^{*}\lambda _{1}{\boldsymbol {v}}_{2}=\lambda _{1}{\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}} Av detta fås att
λ 2 v 1 ∗ v 2 = λ 1 v 1 ∗ v 2 ⇔ {\displaystyle \lambda _{2}{\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}=\lambda _{1}{\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}\Leftrightarrow }
λ 2 v 1 ∗ v 2 − λ 1 v 1 ∗ v 2 = 0 ⇔ {\displaystyle \lambda _{2}{\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}-\lambda _{1}{\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}=0\Leftrightarrow }
( λ 2 − λ 1 ) v 1 ∗ v 2 = 0 ⇔ {\displaystyle (\lambda _{2}-\lambda _{1}){\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}=0\Leftrightarrow }
v 1 ∗ v 2 = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}^{*}{\boldsymbol {v}}_{2}=0} Eftersom λ 2 ≠ λ 1 {\displaystyle \lambda _{2}\neq \lambda _{1}} .
VSB.
Notera att egenvektorerna hos en symmetrisk matris också är ortogonala mot varandra.
Bevis (2)
Se spektralsatsen .
^ W W L CHEN 2008: "Linear Algebra, Chapter 12.1, Complex Vector Space - complex inner products" Arkiverad 11 juni 2014 hämtat från the Wayback Machine ., Macquarie University, Sydney, läst maj, 2014.
^ "Complex Vector Spaces, chapter 8.4, Complexa vector space and inner product" : Cengage Learning, läst maj, 2014.
^ "Complex Vector Spaces, chapter 8.5, Unitary and hermitian matrices" : Cengage Learning, läst maj, 2014.