En symmetrisk matris är inom linjär algebra, en matris sådan att den är identisk med sitt transponat:

En symmetrisk matris med fem rader och fem kolonner.
En symmetrisk matris med fem rader och fem kolonner.

Om matrisen har elementen aij är aij = aji för en symmetrisk matris. Man kan också uttrycka detta som att rad k i en symmetrisk matris har samma element, i samma ordning, som kolonn k.

ExempelRedigera

 

M är symmetrisk, eftersom MT = M.

A nedan är dock inte symmetrisk, vilket man kan se genom att jämföra elementen i A med elementen i A:s transponat, AT:

 

EgenskaperRedigera

Symmetriska matriser har alltid en ortonormerad bas av egenvektorer, enligt spektralsatsen, vilket innebär att om A är symmetrisk kan A diagonaliseras med en ortogonalmatris, det vill säga, det finns en diagonalmatris D och en ortogonalmatris T sådan att

 .

där elementen i D:s diagonal är A:s egenvärden.

Om A är en reell matris så är matrisen ATA symmetrisk, om matrismultiplikationen är tillåten. Detta kan visas med hjälp av räknereglerna för transponat:

 

Symmetrisk avbildningRedigera

En symmetrisk linjär avbildning är en avbildning   sådan att

 

för alla reella vektorer u och v. I en ortonormerad bas motsvarar en symmetrisk avbildning en symmetrisk matris på ett entydigt sätt. För att bevisa detta noteras att skalärprodukten i en sådan bas kan skrivas på matrisformen

 

där u och v är kolonnmatriser. Om avbildningen   representeras av matrisen   i den givna basen kan definitionen skrivas som

 

Om   blir transponatet av vänsterledet lika med högerledet. Eftersom vänsterledet är en 1x1-matris är den lika med sitt transponat, så   är symmetrisk. Om man utgår från att   är symmetrisk får man på samma sätt att

 

och om detta ska gälla för alla u och v måste

 

Se ävenRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.