Öppna huvudmenyn
Uppslagsordet ”Kompakt” leder hit. För skivbolaget, se Kompakt (skivbolag).

Inom matematiken är kompakthet en egenskap hos topologiska rum och delmängder till topologiska rum.

En delmängd av de reella eller komplexa talen, eller en delmängd av ett ändligtdimensionellt inre produktrum över dessa, är kompakt om och endast om den är sluten och begränsad, enligt Heine–Borels sats, och tas ibland som definitionen av kompakt över dessa rum. I allmännare fall gäller dock inte denna karaktärisering av kompakta mängder.

DefinitionRedigera

Ett topologiskt rum X sägs vara kompakt om varje öppen övertäckning av X har en ändlig delövertäckning. Detta innebär att om

 ,

där   är en familj av öppna mängder, så finns   som är ändlig sådan att

 .

En delmängd   är kompakt om varje övertäckning av A med mängder som är öppna i X har en ändlig delövertäckning.

Notera att definitionerna av kompakthet varierar. Exempelvis kräver Bourbaki även att ett kompakt rum ska vara ett Hausdorffrum, och kallar topologiska rum som inte är Hausdorffrum, men som uppfyller kravet ovan, för kvasikompakt.

Kompakthet i olika rumRedigera

Om X är ett kompakt topologiskt rum och A är en sluten delmängd till X så är A kompakt.

En mängd i Rn är kompakt om och endast om den är sluten och begränsad. För en delmängd av ett fullständigt[särskiljning behövs] metriskt rum gäller att den är kompakt om och endast om den är sluten och totalt begränsad. Dessa båda resultat kallas Heine–Borels sats.

Karakteriseringar av kompakthetRedigera

Om man antar urvalsaxiomet är följande ekvivalenta:

  1. Det topologiska rummet X är kompakt.
  2. Varje öppen övertäckning av X har en ändlig delövertäckning.
  3. Varje nät över X har ett konvergerande delnät.
  4. Varje ultrafilter över X konvergerar till åtminstone en punkt.
  5. Varje oändlig delmängd av X har en fullständig ackumuleringspunkt.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  • Kelley, J.L. (1955). General Topology. Van Nostrand 
  • Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach Jr. (1995). Counterexamples in topology. Dover Pulications 
  • Hocking, John G.; Gail S. Young (1961). Topology. Dover Pulications. ISBN 0-486-65676-4