Ultrafilter

Inom matematiken, framförallt i mängdteori och modellteori är begreppet ultrafilter ett sätt att formalisera idén om en "stor" delmängd av en mängd M.

Definition

Given en mängd M är ett filter F på M en icke-tom mängd av delmängder till M som satisfierar följnade villkor:

1. Om $U\in F$ och $U\subseteq V$ är $V\in F$
2. Om $U\in F$ och $V\in F$ är $U\cap V\in F$

Ett filter F på M säges vara ett ultrafilter om det är maximalt, d.v.s. om följande villkor är uppfyllt:

1. För varje $A\subseteq M$ gäller $A\in F$ eller $M\backslash A\in F$

Ett ultrafilter F på M säges vara principiellt om det finns ett element $m\in M$ så att:

• $F_{m}=\{A\subseteq M\mid m\in A\}$.

Existens

Ett principiellt ultrafilter på en mängd M existerar trivialt för varje $m\in M$. Med hjälp av urvalsaxiomet kan man visa att det på varje oändlig mängd finns ett icke-principiellt ultrafilter.

Användning

Ultrafilter används för att konstruera ultraprodukter, som används i mängdteori och modellteori.