Heine-Borels sats eller Heine-Borels övertäckningssats är en matematisk sats om kompakta mängder uppkallad efter Eduard Heine och Émile Borel.

Heine-Borels sats har två formuleringar; en för ändligtdimensionella -rum och en för allmänna metriska rum. Den första formuleringen säger att:

En delmängd är kompakt om och endast om S är sluten och begränsad.

Inom reell analys används ibland den andra delen av satsen som definitionen på kompakt mängd, men i allmänna metriska rum gäller bara att kompakthet implicerar slutenhet och begränsning. Det finns istället en allmännare form av Heine-Borels sats:

En delmängd till ett metriskt rum är kompakt om och endast om mängden utgör ett fullständigt rum och är sluten och totalt begränsad.

BevisRedigera

Bevis av den första formuleringen;   kompakt omm S sluten och begränsad. Implikationen att kompakthet ger slutenhet och begräsning visas för metriska rum. Kom ihåg definitionen för kompakt mängd; att varje öppen övertäckning av mängden har en ändlig delövertäckning som täcker mängden.

Kompakthet ger slutenhetRedigera

Låt   (komplementet till S). För alla   existerar disjunkta omgivningar   som innehåller x och   som innehåller y. Det följer att alla  -mängder bildar en öppen övertäckning av S,  . S är kompakt, så det existerar en ändlig delövertäckning som täcker S av mängder  , så att   är en omgivning till y som inte ligger i S, så y kan inte vara en randpunkt till S. Då y valdes godtyckligt ger detta att S innehåller alla sina randpunkter och är därmed sluten.

Kompakthet ger begränsningRedigera

I allmänna metriska rum innebär att en mängd är begränsad   där d är metrikenS. En öppen övertäckning till S är mängden av klot med radie 1 med mittpunkt i x, betecknad   för alla x i S. Denna övertäckning har då en ändlig delövertäckning   som täcker S. Antag att   och   och  , som

 

x och y valdes godtyckligt ger detta att S är begränsad.

Slutenhet och begräsning ger kompakthetRedigera

Om en mängd   är begränsad kan den stängas in i en n-låda:

 

med   och  . Kalla denna n-låda för  . Man kan nu dela upp   i flera små dellådor genom att dela varje sida i två. Vi får då   dellådor.

Antag att   inte är kompakt, då givet en öppen övertäckning C av   måste finnas minst en dellåda till   som kräver oändligt många öppna mängder för att täckas, kalla denna låda  . Fortsätt sedan med samma resonemang, dela upp   i   dellådor och plocka ut  , osv. Man får då en följd av T-mängder

 

vars längd, projicerat på  -axeln, går mot noll då n går mot oändligheten:

 

Då ger Cantors inkapslingssats:  , dvs det finns en punkt  . Eftersom C täcker S finns en mängd   så att  . Då A är öppen finns ett n-klot  , så att för tillräckligt stora k gäller  , så att de oändligt många mängderna som behövs för att täcka   kan ersättas med endast en, vilket ger en motsägelse. Alltså är   kompakt.

S är alltså en sluten delmängd av en kompakt mängd, då resultatet nedan ger att S är kompakt.

Sluten delmängd till kompakt mängd är kompaktRedigera

Låt S vara en sluten delmängd till den kompakt mängden T i  . Låt   vara en öppen övertäckning av S. Om   också täcker T så existerar det en ändlig delövertäckning av   som täcker T, anta därför att   inte täcker T.

  är då en öppen mängd som innehåller punkter i T som inte täcks av  . Låt   vara en öppen övertäckning av T. Eftersom T är kompakt så har   en ändlig delövertäckning. Då   innehåller punkter i T som inte täcks av   måste  , så att  , där   måste vara en ändlig delövertäckning av   eftersom   inte täcker