Illustration över en begränsad (övre delen) och en obegränsad mängd (nedre delen). Den röda triangeln begränsas av sina sidor medan det andra objektet fortsätter åt höger utan gräns.

En begränsad mängd är inom matematik en mängd där det, intuitivt uttryckt, finns ett största avstånd mellan elementen i mängden som är ändligt. En mängd som inte är begränsad kallas för en obegränsad mängd.

Mängder av reella talRedigera

En mängd A av reella tal är uppåt begränsad om det finns ett reellt tal M så att   för alla x i A. A kallas nedåt begränsad om det finns ett tal m så att   för alla x i A. Om en mängd är både uppåt och nedåt begränsad är det en begränsad mängd, det vill säga om det finns ett tal s så att   för alla x i A.

Likartat, om A är en delmängd till Rn är A begränsad om det finns ett reellt tal s så att   för alla x i A.

Metriska rumRedigera

Om A är en delmängd till ett metriskt rum (X,d), är A begränsad om den ryms inom någon boll med ändlig radie, dvs om det finns ett a i A och ett tal M sådant att

 

för alla x i A.

Om mängden A är begränsad gäller att:

 

  kallas för mängden A:s diameter. Om   är ändlig, dvs (X,d) är begränsad i sig själv, kalls (X,d) ett begränsat metriskt rum och d kallas en begränsad metrik.

normerade rum är metriska rum kan man använda ovanstående definition på normerade rum med hjälp av normen i rummet. Det är då smidigt att som punkten a ovan använda origo i det normerade rummet, så att en mängd A är begränsad om det finns ett tal M så att   för alla x i A.

Att en mängd är totalt begränsad implicerar att den är begränsad.

MåttrumRedigera

Om A är en delmängd till ett metriskt måttrum (X,d,µ), är A väsentligt begränsad om

 

  kallas för mängden A:s väsentliga diameter och ess sup är väsentligt supremum med produktmåttet  . Måttet µ måste vara ett sigma-begränsat mått.

OrdningsteoriRedigera

En lattice sägs vara begränsad om det innehåller både ett största och minsta element. En lattice   är begränsad om och endast om det finns ett neutralt element med avseende på både   och  .

ReferenserRedigera

  • Persson, Arne; Lars-Christer Böiers (2005). Analys i flera variabler. Studentlitteratur. ISBN 91-44-03869-0 
  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
  • Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4