Dedekinds zetafunktion

Inom matematiken är Dedekinds zetafunktion av en algebraisk talkropp K, vanligen betecknad med ζ_K(s), en generalisering av Riemanns zetafunktion, som är specialfallet av Dedekinds zetafunktion i fallet då K är de rationella talen Q. Dedekinds zetafunktion har flera gemensamma egenskaper med Riemanns zetafunktion: den definieras som en Dirichletserie, den har en Eulerprodukt, den satisfierar en funktionalekvation, den har en analytisk fortsättning till en meromorf funktion i komplexa planet C med bara en enkel pol vid s = 1. Dess värden ger aritmetisk information om K. Den utvidgade Riemannhypotesen säger att om ζ_K(s) = 0 och 0 < Re(s) < 1 är Re(s) = 1/2.

Dedekinds zetafunktion är uppkallad efter Richard Dedekind.

Definition

Låt K vara en algebraisk talkropp. Dedekinds zetafunktion av K definieras för komplexa tal s med reell del Re(s) > 1 som Dirichletserien

\zeta _{K}(s):=\sum _{\mathfrak {a}}{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})}^{-s}

där ${\mathfrak {a}}$ går genom alla heltalsideal av $K$ och ${\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})$ är deras absolutnorm. Serien $\zeta _{K}(s)$ konvergerar absolut och likformigt för $\Re (s)\geq 1+\delta$ för alla $\delta >0$ . Dedekinds zetafunktion kan skrivas som Eulerprodukten

\zeta _{K}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {p}})}^{-s}}}

där ${\mathfrak {p}}$ går över alla primideal av $K$ . Zetafunktionen kan fortsättas analytiskt till $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ . I fallet K = Q reducerar sig detta till definitionen av Riemanns zetafunktion.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dedekind zeta function, 25 maj 2013.

Allmänna källor

Bosma, Wieb; de Smit, Bart (2002), ”On arithmetically equivalent number fields of small degree”, i Kohel, David R.; Fieker, Claus, Algorithmic number theory (Sydney, 2002), Lecture Notes in Comput. Sci., "2369", Berlin, New York: Springer-Verlag, s. 67–79, doi:10.1007/3-540-45455-1_6, ISBN 978-3-540-43863-2
Section 10.5.1 of Cohen, Henri (2007), Number theory, Volume II: Analytic and modern tools, Graduate Texts in Mathematics, "240", New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-49894-2, ISBN 978-0-387-49893-5
Deninger, Christopher (1994), ”L-functions of mixed motives”, i Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven; Serre, Jean-Pierre, Motives, Part 1, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, "55.1", American Mathematical Society, s. 517–525, ISBN 978-0-8218-1635-6, http://wwwmath.uni-muenster.de/u/deninger/about/publikat/cd22.ps ^{[död länk]}
Flach, Mathias, ”The equivariant Tamagawa number conjecture: a survey”, i Burns, David; Popescu, Christian; Sands, Jonathan m.fl., Stark's conjectures: recent work and new directions, Contemporary Mathematics, "358", American Mathematical Society, s. 79–125, ISBN 978-0-8218-3480-0, http://www.math.caltech.edu/papers/baltimore-final.pdf
Martinet, J. (1977), ”Character theory and Artin L-functions”, i Fröhlich, A., Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975, Academic Press, s. 1-87, ISBN 0-12-268960-7
Narkiewicz, Władysław (2004), Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics (3), Berlin: Springer-Verlag, Chapter 7, ISBN 978-3-540-21902-6