Det finns två sorters trippelprodukter av vektorer; den skalära och den vektoriella. Båda handlar om att multiplicera tre vektorer () med varandra genom en serie skalär- och kryssprodukter.

Skalär trippelprodukt

redigera
 
Den skalära trippelprodukten kan tolkas som volymen av en parallelepiped. Basytan är i figuren  , höjden   är lika med   och volymen är basytan gånger höjden, det vill säga  . Cyklisk permutation innebär bara att en annan sida blir basyta och att höjden räknas ut från den "överblivna" kanten i stället. Byter man ordning på   och   i kryssprodukten byter   tecken och "volymen" blir negativ eftersom  .

Den skalära trippelprodukten definieras som skalärprodukten av den ena vektorn med kryssprodukten av de två andra, det vill säga:

 

Egenskaper

redigera

Vektorerna kan inom produkten flyttas runt cykliskt, det vill säga:

 

Byter man ordning i kryssprodukten byter trippelprodukten tecken:

 

Eftersom skalärprudukten är kommutativ gäller även exempelvis:

 [1]

Geometrisk tolkning

redigera

Den skalära trippelprodukten kan geometriskt tolkas som volymen (med tecken) av parallellepipeden som definieras av de tre vektorerna.

Determinanttolkning

redigera

Man kan också tolka den skalära trippelprodukten som determinanten av den matris som har de tre vektorerna som rader eller kolonner.

Vektoriell trippelprodukt

redigera

Den vektoriella trippelprodukten är

 

Egenskaper

redigera

Den vektoriella trippelprodukten kan utvecklas med hjälp av Lagranges formel[2], "BAC-CAB-regeln":

 
Bevis
 
  ger
 ,
  och
 
Utveckling av   ger:
 
 
 
 
På samma sätt får vi:
  och
 , sålunda:
 
 
 
 

Referenser och noter

redigera
  1. ^ Ty  .
  2. ^ Uppkallad efter Joseph-Louis Lagrange som använde metoden i komponentform 1773 i Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires, innan skalär- och vektorprodukt introducerades formellt på 1800-talet (William Rowan Hamilton introducerade begreppen "vektor" och "skalär" 1843).