Öppna huvudmenyn

Det finns två sorters trippelprodukter av vektorer; den skalära och den vektoriella. Båda handlar om att multiplicera tre vektorer () med varandra genom en serie skalär- och kryssprodukter.

Innehåll

Skalär trippelproduktRedigera

Den skalära trippelprodukten definieras som skalärprodukten av den ena vektorn med kryssprodukten av de två andra, dvs:

 

EgenskaperRedigera

Vektorerna kan inom produkten flyttas runt cykliskt, dvs:

 

Geometrisk tolkningRedigera

Den skalära trippelprodukten kan geometriskt tolkas som volymen (med tecken) av parallellepipeden som definieras av de tre vektorerna.

DeterminanttolkningRedigera

Man kan också tolka den skalära trippelprodukten som determinanten av den matris som har de tre vektorerna som rader eller kolonner.

Vektoriell trippelproduktRedigera

Den vektoriella trippelprodukten är

 

EgenskaperRedigera

Den vektoriella trippelprodukten kan utvecklas med hjälp av Lagranges formel[1], "BAC-CAB-regeln":

 
Bevis
 
  ger
 ,
  och
 
Utveckling av   ger:
 
 
 
 
På samma sätt får vi:
  och
 , sålunda:
 
 
 
 

Referenser och noterRedigera

  1. ^ Uppkallad efter Joseph-Louis Lagrange som använde metoden i komponentform 1773 i Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires, innan skalär- och vektorprodukt introducerades formellt på 1800-talet (William Rowan Hamilton introducerade begreppen "vektor" och "skalär" 1843).
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.