Lipschitzkontinuitet är ett villkor inom matematisk analys utvecklat av och namngett efter den tyske matematikern Rudolf Otto Sigismund Lipschitz. Grafiskt kan villkoret ses som ett ”mjukhetsvillkor” för funktioner, där funktionens lutning måste vara begränsad i alla punkter för att uppfylla villkoret.
Begreppet Lipschitz-kontinuitet ligger mellan begreppen kontinuitet och deriverbarhet. En deriverbar funktion är alltid Lipschitzkontinuerlig, och en Lipschitzkontinuerlig funktion är alltid kontinuerlig. Dock gäller inte omvändningen. En kontinuerlig funktion behöver inte vara Lipschitzkontinuerlig, samtidigt som en Lipschitzkontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar.
Definitioner
redigeraGivet två metriska rum och , där är avståndsfunktionen för mängden och avståndsfunktionen för , kallas en funktion Lipschitzkontinuerlig om det existerar en reell konstant sådan att för alla ,
.
Lipschitzkontinuitet i en variabel
redigeraFunktionen är Lipschitzkontinuerlig på intervallet om det finns en lipschitzkonstant sådan att för alla för alla så gäller .
Lipschitzkontinuitet i flera variabler
redigeraFunktionen är Lipschitzkontinuerlig på mängden om det finns en lipschitzkonstant sådan att för alla så gäller
Lokal Lipschitzkontinuitet
redigeraEn funktion sägs vara lokalt Lipschitzkontinuerlig i en punkt om och endast om det finns någon omgivning kring punkten där funktionen är Lipschitzkontinuerlig.
Egenskaper
redigeraAtt en funktion är Lipschitzkontinuerlig betyder att dess lutning måste vara begränsad. För en variabel kan man grafiskt tänka sig att en Lipschitzkontinuerlig funktion f kan inneslutas i två koner med axlarna längs x-axeln, vars toppar ligger i en gemensam punkt på funktionen (se bilden). Ifall det för varje punkt på finns ett , där är lutningen på konernas sidor, så att är helt innesluten av konen, så har vi en lokalt Lipschitzkontinuerlig funktion. Om det dessutom finns ett och samma k för alla punkter på funktionen som gör att alltid ligger inom konen, så kan vi säga att är globalt Lipschitzkontinuerlig.
Då en funktion har en Lipschitzkonstant 0 < k < 1 sägs funktionen vara en sammandragning.
Villkoret för Lipschitzkontinuitet används i Picards sats, som nyttjas för att avgöra existensen för lösningar till differentialekvationer med begynnelsevärden.
Samband mellan kontinuitet, Lipschitzkontinuitet samt deriverbarhet
redigeraLipschitzkontinuitet och deriverbarhet
redigera- En funktion som är deriverbar är också lokalt Lipschitz-kontinuerlig. Då derivatan av är begränsad, är även globalt Lipschitzkontinuerlig.
Enligt definitionen av riktningsderivata kan riktningsderivatan av funktionen skrivas som
Omskrivning ger
Detta medför att är lokalt Lipschitzkontinuerlig för alla punkter på definitionsmängden, eftersom det finns en omgivning kring varje punkt där
Detta innebär dock inte att är globalt Lipschitzkontinuerlig, eftersom inte behöver vara obegränsad överallt även om den existerar. Ett exempel är funktionen , vars derivata existerar på hela definitionsmängden och därför är lokalt Lipschitzkontinuerlig överallt, men som däremot inte är globalt Lipschitzkontinuerlig eftersom då .
Men då är begränsad på hela definitionsmängden kan man se att
vilket är ekvivalent med att är globalt Lipschitzkontinuerlig.
- Att en funktion är Lipschitzkontinuerlig medför inte att den samtidigt är deriverbar.
Detta visas enklast genom ett exempel på en funktion som är Lipschitzkontinuerlig men inte deriverbar. Ett sådant exempel är . I punkten saknas derivata, men funktionen är fortfarande Lipschitzkontinuerlig, eftersom funktionen är kontinuerlig och dess lutning är begränsad.
Lokal och global Lipschitzkontinuitet
redigera- En funktion som är globalt Lipschitzkontinuerlig är även lokalt Lipschitzkontinuerlig i alla punkter. Däremot gäller i allmänhet inte det omvända.
Detta samband kan utläsas direkt ur definitionerna. För en globalt Lipschitzkontinuerlig funktion gäller att för alla punkter på funktionen så är lutningen till alla punkter på funktionen begränsad. Därav följer även att det finns någon omgivning kring alla punkter där lutningen mellan punkten och alla punkter i den omgivningen är begränsad.
Funktionen är ett exempel på en funktion som är lokalt Lipschitzkontinuerlig, men inte globalt. Kring varje enskild punkt kan vi hitta en omgivning där lutningen är begränsad, vilket medför att är lokalt Lipschitzkontinuerlig för alla . Däremot kommer lutningen att växa oändligt för stora positiva och negativa . Därför finns ingen Lipschitzkonstant k så att för alla , och funktionen är därför inte globalt Lipschitzkontinuerlig.
Kontinuitet och Lipschitzkontinuitet
redigera- Lipschitzkontinuerliga funktioner är även kontinuerliga.
För en Lipschitzkontinuerlig funktion gäller enligt definitionen att
detta uttryck ska gälla för alla och där och ligger i definitionsmängden, vilket ger att det även gäller då går mot 0.
Då går mot 0 får vi direkt
vilket är definitionen för kontinuitet.
- Att en funktion är kontinuerlig medför inte att den även är Lipschitzkontinuerlig
Detta visas enklast genom att hitta en kontinuerlig funktion som inte är Lipschitzkontinuerlig. Ett exempel på detta är . Derivatan till denna funktion existerar i alla punkter utom . Däremot är , vilket medför att är kontinuerlig.
Då vi låter kommer vi få att . Det saknas alltså en omgivning kring punkten där vi har en begränsad lutning på funktionen , vilket innebär att funktionen inte är lokalt Lipschitzkontinuerlig, och därmed inte heller globalt Lipschitzkontinuerlig.
Källor
redigera- PlanetMath.org - Lipschitz condition and differentiability
- University of Sussex - Spring 2006 Handout 3: Lipschitz condition and Lipschitz continuity
- Åbo Akademi - 8. Residykalkyl
- Michael Björklund, KTH - Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer
- Analys i flera variabler, Arne Persson, Lars-Christer Böiers
- Matematisk Analys en variabel, Göran Forsling, Mats Neymark