Schurs sats är en sats inom linjär algebra och är uppkallad efter den judiske matematikern Issai Schur som bland annat studerade under Ferdinand Georg Frobenius. Enligt satsen kan alla n × n-matriser, i någon bas, representeras av en uppåt triangulär matris.

Schurs satsRedigera

Låt   vara en linjär avbildning och   vara ett (komplext) vektorrum. Då finns det en ortonormerad bas för V så att A i denna bas representeras av en uppåt triangulär matris, det vill säga alla n × n-matriser kan skrivas på formen

 

där U är en unitär matris (inversen av U är lika med det hermiteska konjugatet för U) och T är en uppåt triangulär matris med egenvärdena till A på diagonalen.

BevisRedigera

Satsen bevisas genom matematisk induktion.

Låt   vara ett vektorrum och   vara en linjär avbildning.

  • Satsen är sann om   (då en 1 × 1-matris är uppåt triangulär).
  • Antag att satsen är sann då  .

Låt   vara en normerad egenvektor till A som hör till egenvärdet  , dvs

 .

Låt nu W vara det ortogonala komplementet till  ,

 .

Dimensionen för W blir då  .
Låt vektorerna   vara en ortonormerad bas för W.

Då utgör   en ortonormerad bas för V.

I denna bas representeras A av matrisen

 

Första kolonnen består endast av egenvärdet   följt av nollor. Alla element till höger om   på första raden är ointressanta.

Däremot låter vi det nedre högra blocket definiera en ny avblidning  .
  så finns enligt antagandet en ortonormerad bas   för   så att B övergår i uppåt triangulär form i denna bas, vilket medför att även  , i basen  , övergår uppåt i triangulär form.

AnmärkningarRedigera

  • Även om man utgår från en reell matris så kan matriserna   och   ha komplexa element.
    Exempel: rotationsmatrisen
 
har endast komplexa egenvärden och då   har egenvärden på diagonalen så kommer   i detta fall ha komplexa värden på diagonalen.
  • Om   är en normal matris ( ) så är matrisen   diagonal med egenvärden på diagonalen. Därmed så kan Schurs sats ses som en utvidgning av spektralsatsen.
  • Om två matriser kommuterar ( ) så kan de skrivas om med samma bas, dvs   och   med samma unitära matris  .

ReferenserRedigera

  • Sergei Treil, Linear Algebra Done Wrong, Kapitel 6, Brown University, 2004
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.