Egenvektorer till en kvadratisk matris är de nollskilda vektorer som bibehåller sin riktning efter multiplikation med matrisen. Till varje egenvektor hör en skalningsfaktor, ett egenvärde, med vilken vektorns storlek är ändrad efter matrismultiplikationen.
I denna transformation ändras den röda pilens riktning vilket inte är fallet med den blå pilen. Därför är den blå pilen en egenvektor med egenvärdet 1 då dess längd inte ändras
Ett egenrum för ett egenvärde är det delrum som spänns upp av egenvektorerna som hör till egenvärdet.
Den linjära avbildningen A ändrar inte riktningen för vektorn x, bara dess storlek. Alltså är x en egenvektor till ATransformationsmatrisen bevarar riktningen hos de vektorer som är parallella med vektorerna (i blått) och (i violett). Punkterna som ligger på en linje genom origo som är parallell med någon egenvektor, ligger kvar på linjen efter transformationen. De röda vektorerna är inte egenvektorer då deras riktningar ändras av transformationen
då är v en egenvektor till den linjära avbildningen A och skalfaktorn λ är det egenvärde som svarar mot egenvektorn. Ekvation (1) är egenvärdesekvationen till matrisen A och kan formuleras som
Ekvation (2) har en nollskild lösning v om och endast om determinanten till matrisen (A − λI) är noll. Egenvärdena till A är därför de λ som satisfierar sekularekvationen till A:
Vänsterledet till ekvation (3) är ett polynom i λ av grad n,
vilket kallas det karaktäristiska polynomet till A.
Egenrummet till ett egenvärde av en linjärtransformation är det vektorrum som spänns upp av de linjärt oberoende egenvektorerna till linjärtransformationen som svarar mot detta egenvärde. Antalet av dessa linjärt oberoende egenvektorer är egenrummets dimension och kallas egenvärdets geometriska multiplicitet.
Den geometriska multipliciteten är alltid mindre än eller lika med den algebraiska multipliciteten.
För en kvadratisk matris A, kan egenrummen fås, när egenvärdena är kända, genom ekvationen
Egenvärdesproblem har varit en viktig del inom matematiken och dess tillämpningar under mer än tvåhundra år.
Inom mekaniken ger egenvärden resonansfrekvenser för mekaniska system. De grundtoner som frambringas av till exempel stränginstrument motsvaras av egenvärden för den svängande strängen.
Inom hållfasthetsläran används egenvärdesanalys för att studera spännings- och töjningstensorer. Egenvärdena ger tensorernas extremvärden som används för bedömning av risk för brott eller plastisk deformation.
Även inom kvantmekaniken är egenvärden av fundamental betydelse. De bestämmer till exempel de möjliga energinivåerna hos atomer och molekyler.
Matematiskt har egenvärdena och egenvektorerna betydelse vid diagonalisering av matriser och i det allmännare fallet Jordans normalform.