Sannolikhetsgenererande funktion

Den sannolikhetsgenererande funktionen för en diskret slumpvariabel är en potensserierepresentation av slumpvariabelns sannolikhetsfunktion. Sannolikhetsgenererande funktioner används ofta för deras kortfattade beskrivning av följden Pr ( X = k ) i sannolikhetsfunktionen för en slumpmässig variabel X. Vidare, om sannolikhetsfunktionen är reproduktionsfördelningen för en Galton-Watson-process, ger upprepad applicering av den sannolikhetsgenererande funktionen långsiktigt beteende för processen[1].

DefinitionRedigera

Om X är en diskret slumpvariabel som har utfallsrummet {0,1, ...}, definieras den sannolikhetsgenererande funktionen för X som [1]

 

där p är sannolikhetsfunktionen för X.

EgenskaperRedigera

En del intressanta egenskaper för sannolikhetsgenererande funktioner kan härledas.

  1. Sannolikhetsfunktionen för X fås genom att derivera G[1],
     
  2. Det följer från egenskap 1 att om två slumpvariabler X och Y har sannolikhetsgenererande funktioner som är lika,   så är även   [1]. Alltså, om X och Y har identiska sannolikhetsgenererande funktioner, har de identiska sannolikhetsfunktioner.
  3. Väntevärdet av   ges av  [1] Vidare ges variansen av X av[1] 
  4.   där X är en slumpvariabel,   är den sannolikhetsgenererande funktionen och   är den momentgenererande funktionen.

ExempelRedigera

  • Den sannolikhetsgenererande funktionen för en konstant slumpvariabel, dvs Pr ( X = c ) = 1, är
 
  • Den sannolikhetsgenererande funktionen för en Bernoullifördelad slumpvariabel med parameter p ges av
 
  • Den sannolikhetsgenererande funktionen för en Poissonfördelad slumpvariabel med parametern λ är
 

ReferenserRedigera