En potensserie (i en variabel) är en serie på formen

där koefficienterna an, centrumpunkten c och variabeln x vanligtvis är reella eller komplexa tal.[1] Serier av den här typen dyker upp i samband med Taylorserier.

I många sammanhang är c lika med noll, till exempel för en Maclaurinserie. I dessa fall får potensserien det något enklare utseendet

Sådana här potensserier dyker främst upp inom analysen, men också inom kombinatoriken (som genererande funktioner) och elektrotekniken (i Z-transformen). Decimalnotationen för heltal kan ses som en potensserie där x är lika med 10.

Egenskaper

redigera

Om en reell potensserie   konvergerar för något  , konvergerar den absolut för alla   sådana att  . Antingen konvergerar serien för alla   eller finns det en konvergensradie,  , sådan att serien konvergerar för  . För   går det inte att säga något allmänt om konvergens − potensserien kan konvergera betingat, absolut eller divergera. Innanför konvergensradien kan serien deriveras och integreras termvis enligt

 
 .

Detta är inte en självklar egenskap utan kommer ifrån att potensserier konvergerar likformigt.[2]

Ovanstående egenskaper utvidgas enkelt till komplexa potensserier.[1]

Exempel

redigera

Ett polynom kan enkelt uttryckas som en potensserie runt något centrum c, även om de flesta koefficienterna blir lika med 0. Till exempel så kan polynomet f(x) = x² + 2x + 3 skrivas runt c=0 som

 

eller runt c=1 som

 

Ett par av de viktigaste exemplen är den geometriska serien

 

som konvergerar för |x| < 1 samt exponentialfunktionen

 

Dessa serier har varit Taylorserier, men det finns potensserier som inte är Taylorserier till någon funktion, till exempel

 

Koefficienterna i en potensserie an får inte bero på x. Följande är alltså inte ett exempel på potensserier.

 

Källor

redigera
  1. ^ [a b] Saff och Snider (2003). Fundamentals of Complex Analysis. Pearson Education, Inc. sid. 252–256. ISBN 0-13-017968-X 
  2. ^ Abbott, Stephen (2001). Understanding analysis. Springer Science+Business Media, Inc. sid. 169–173. ISBN 0-387-95060-5 

Externa länkar

redigera