Inom funktionalanalys, en gren av matematik, är ett reflexivt rum ett Banachrum med vissa egenskaper rörande dess dualrum. Man kan nämligen säga att ett reflexivt rum kan identifieras med sin bidual.

DefinitionRedigera

Låt   vara ett normerat vektorrum över antingen R eller C. Låt   vara dualrummet till  , med andra ord mängden av kontinuerliga linjära funktionaler på  . Det finns nu en naturlig linjär avbildning

  som för varje   och   uppfyller  . Det följer av Hahn-Banachs sats att denna avbildning är en isometri. Därför är den injektiv, och varje normerat vektorrum kan på detta sätt identifieras med en delmängd av sin bidual. Om avbildningen J också är surjektiv, sägs   vara reflexivt.

Notera att dualrummet till varje normerat vektorrum i själva verket är ett Banachrum, så det slutna höljet av mängden   är ett Banachrum. Därför är varje normerat vektorrum ett tätt delrum av ett Banachrum. Ofta brukar man alltså identifiera   med ett delrum av   och det gäller alltså att   är reflexivt omm  .

ExempelRedigera

Alla ändligtdimensionella vektorrum är reflexiva, liksom alla Hilbertrum. Lp-rummen är reflexiva för  , vilket följer av Riesz representationssats för Lp-rum.

EgenskaperRedigera

Ett Banachrum är reflexivt omm dess dualrum är reflexivt. Det gäller också att ett Banachrum är reflexivt omm dess enhetsklot är kompakt i den svaga topologin. Det gäller också i ett reflexivt rum att varje begränsad följd har en delföljd som är konvergent[särskiljning behövs] i den svaga topologin, vilket följer av Banach-Steinhaus sats.