Inom den gren av matematiken som kallas funktionalanalys är Banach-Steinhaus sats eller satsen om likformig begränsning som den också kallas ett ofta använt resultat.

Banach-Steinhaus satsRedigera

  • Låt   och   vara två normerade vektorrum och   en familj av begränsade linjära operatorer   Denna familj besitter följande två egenskaper:
    • Operatornormerna   är begränsade om vektornormerna   är begränsade, för varje punkt   i en icke-mager delmängd av rummet  .
    • Operatornormerna   är begränsade om vektornormerna   är begränsade, för varje punkt   i Banachrummet  .

Användning av Banach-Steinhaus satsRedigera

En omedelbar konsekvens av Banach-Steinhaus sats är den så kallade Principen om kondensation av singulariteter: Om   är ett Banachrum och   är en familj av obegränsade linjära operatorer från X till något annat linjärt rum   så gäller att

  är tät i X.

Ett annat viktigt resultat som kan visas med hjälp av Banach-Steinhaus sats är att de flesta kontinuerliga periodiska funktioner inte konvergerar punktvis till sin Fourierserieutveckling. Mer precist: för varje   gäller att mängden av funktioner i   vars Fourierserie divergerar i x är tät i  .

Det är också Banach-Steinhaus sats, tillsammans med det faktum att grafen till Wienerprocessen har ändlig kvadratisk variation, som tvingade fran begreppet stokastisk integral och därmed det nya området stokastisk analys.

Bevis av Banach-Steinhaus satsRedigera

Beviset bygger på Baires kategorisats och begreppet mager mängd.