Polygammafunktionen av ordning m är en meromorfisk funktion definierad i och definieras som den (m+1):sta derivatan av gammafunktionens logaritm:

Specialfallen m=0 och m=1 kallas digammafunktionen och trigammafunktionen.

IntegralrepresentationRedigera

Polygammfunktionen kan skrivas som integralen

 

för Re z >0 och m > 0. Då m=0, det vill säga då det är fråga om digammafunktionen, gäller integralrepresentationen

 .

SerierepresentationerRedigera

Polygammafunktionen kan skrivas som den oändliga serien

 

för m > 0 och alla komlexa z som inte är negativa heltal. Med hjälp av Hurwitzs zetafunktion kan serien skrivas kortare som

 

En annan serie kan fås på följande vis. Eftersom

 

fås genom logaritmering

 

och slutligen

 

där   är Kroneckers delta.

TaylorserieRedigera

Taylorserien vid z = 1 är

 

och

 

som konvergerar för |z| < 1. ζ är Riemanns zetafunktion. Serien kan lätt bevisas med hjälp av Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion.

DifferensekvationRedigera

Polygammafunktionen satisfierar differensekvationen

 

ReflektionsformelRedigera

Polygammafunktionen satisfierar reflektionsformeln

 

MultiplikationsteoremRedigera

Multiplikationsteoremet för polygammafunktionen är

 

och

 

Speciella värdenRedigera

 
 
 
 

GeneraliseringRedigera

En generalisering av polygammafunktionen för   och   är

 

Den satisfierar differensekvationen

 

där   är Eulers konstant.

Multiplikationsformeln är

 


KällorRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Polygamma function, 21 november 2013.

Externa länkarRedigera