Polygammafunktionen av ordning m är en meromorfisk funktion definierad i
och definieras som den (m+1):sta derivatan av gammafunktionens logaritm:
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z):={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4776c514fc5d38f058fd52c15af869b541fa85ff)
Specialfallen m=0 och m=1 kallas digammafunktionen och trigammafunktionen.
Polygammfunktionen kan skrivas som integralen
-
för Re z >0 och m > 0. Då m=0, det vill säga då det är fråga om digammafunktionen, gäller integralrepresentationen
- .
Polygammafunktionen kan skrivas som den oändliga serien
-
för m > 0 och alla komlexa z som inte är negativa heltal. Med hjälp av Hurwitzs zetafunktion kan serien skrivas kortare som
-
En annan serie kan fås på följande vis. Eftersom
-
fås genom logaritmering
-
och slutligen
-
där är Kroneckers delta.
Taylorserien vid z = 1 är
-
och
-
som konvergerar för |z| < 1. ζ är Riemanns zetafunktion. Serien kan lätt bevisas med hjälp av Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion.
Polygammafunktionen satisfierar differensekvationen
-
Polygammafunktionen satisfierar reflektionsformeln
-
Multiplikationsteoremet för polygammafunktionen är
-
och
-
-
-
-
-
En generalisering av polygammafunktionen för och är
-
Den satisfierar differensekvationen
-
där är Eulers konstant.
Multiplikationsformeln är
-