Öppna huvudmenyn

En ordinär differentialekvation (eller ODE) är en ekvation för bestämning av en obekant funktion av en oberoende variabel där förutom funktionen en eller flera av funktionens derivator ingår.

Till exempel ger Newtons andra rörelselag differentialekvationen

för rörelsen hos en partikel med massan m. Kraften F beror av partikelns position och därför finns den obekanta funktionen i differentialekvationens båda led.

Ordinära differentialekvationer bör skiljas från partiella differentialekvationer där det förekommer partiella derivator med avseende på flera oberoende variabler.

Ordinära differentialekvationer förekommer i många olika sammanhang såsom geometri, mekanik och astronomi. Många berömda matematiker har studerat differentialekvationer och bidragit till forskningsfältet, såsom Newton, Leibniz, släktingarna Bernoulli, Riccati, Clairaut, d'Alembert och Euler.

Mycket arbete har lagts ned på att finna lösningsmetoder till ordinära differentialekvationer.

I fallet då ekvationen är linjär med konstanta koefficienter kan den lösas med analytiska metoder (med "papper och penna"). Många intressanta differentialekvationer är icke-linjära och kan i allmänhet inte lösas exakt. Genom datorberäkningar (numerisk analys) kan lösningarna beräknas approximativt och ofta med godtyckligt hög noggrannhet.

Innehåll

DefinitionRedigera

En allmän ODE har formen

 ,

för någon funktion  . Genom att låta   vara en vektorvärd funktion går det att täcka in system av differentialekvationer.   kan anta värden i allmänna Banachrum men här behandlas endast fallet då  .

Ekvationen används vanligen på normalform vilket innebär att den skrivs

 

En ekvation på normalform kan reduceras till en ekvation av första graden

 

genom att sätta

 .

Vanligtvis finns också ett begynnelsevärdesvillkor

 

Den obekanta funktionen   sägs vara den beroende variabeln och variabeln   den oberoende variabeln.

Existens och entydighetRedigera

För att garantera existensen av lösningar till

 

i något intervall kring t0 räcker det att F är kontinuerlig.

För att lösningen ska vara entydig krävs det ytterligare villkor varav det mest använda är att F är Lipschitzkontinuerlig i den första variabeln.

Autonom ODERedigera

En ODE är autonom om den oberoende variabeln inte förekommer explicit. Ekvationerna

 
 

är exempel på autonoma ODE:s. Exempel på en icke-autonom ODE:

 

där t är den oberoende variabeln.

Linjär ODERedigera

ODE:n

 

är linjär om F är linjär med avseende på alla former av den beroende variabeln y, det vill säga alla

 

Homogen och inhomogen ODERedigera

Om högerledet är noll är ODE:n homogen:

 

där högerledet antas bestå av alla termer som endast beror av den oberoende variabeln. Om ODE:n inte är homogen kallas den inhomogen.

Lösningen till en inhomogen, linjär ekvation är summan av lösningarna till motsvarande homogena ekvation och den partikulära, alltså lösningen då högerledet är nollskilt:

 

Ekvationer av 1:a ordningenRedigera

Separabla ekvationerRedigera

Dessa är av formen

 

Ekvationen löses med direkt integration:

 

ExempelRedigera

 
 
 
 
 
 

Homogena ekvationerRedigera

Dessa kan skrivas

 

Ekvationen kan lösas genom substitution:

 
 
 
 

Ekvationen är separabel och

 

ExempelRedigera

 
 
 
 
 
 , vilket efter återsubstitution av z ger
 

Linjära ekvationerRedigera

Linjära ekvationer är ekvationer av första graden i y och dess derivator:

 

Först löses den homogena ekvationen

 

vilken är separabel:

 
 

För att lösa den allmänna ekvationen, försöker man bestämma c som en funktion av x, så att

 

blir en lösning. Genom insättning fås

 
 
 
 

ExempelRedigera

 
 

Differentialekvationer av högre ordningRedigera

En ekvation av slaget

 

löses genom att integreras n gånger:

 

Exempel:

 
 
 

Linjära differentialekvationerRedigera

Ekvationen

 

är linjär då den obekanta funktionen och dess derivator uppträder linjärt. Om

 

är ekvationen homogen, annars inhomogen eller fullständig.

Linjära homogena differentialekvationer med konstanta koefficienterRedigera

Ekvationen

 

där alla   är konstanter, löses med ansatsen

 

Genom insättning finner man att   måste satisfiera karaktäristiska ekvationen:

 

vars lösning ger de n rötterna

 

Om alla rötterna är olika blir den allmänna lösningen

 

Finns det däremot multipelrötter, till exempel

 

blir den allmänna lösningen

 

Rötterna till karaktäristiska ekvationen kan naturligtvis vara komplexa, men om dess koefficienter är reella, blir rötterna parvis konjugerat komplexa. Det är då lämpligt att införa trigonometriska funktioner.

Exempel:

Om

 

så fås

 

där c3 och c4 är godtyckliga konstanter.

Linjära, fullständiga differentialekvationer med konstanta koefficienterRedigera

Den fullständiga lösningen är summan av lösningen till den homogena ekvationen

 

och den partikulära lösningen, det vill säga lösningen till

 

Först bestäms den homogena lösningen, till exempel som

 

Variation av konstantenRedigera

För att få lösningen till den fullständiga ekvationen antar man att   är funktioner av x och försöker bestämma dessa genom insättningar. y är en lösning om följande ekvationssystem är satisfierat:

 

Systemet löses för   och   bestäms genom integrering.

Exempel:

 

Karaktäristiska ekvationen blir

 

och den homogena lösningen blir därmed

 

Variera   och  :

 
 
 

AnsatserRedigera

En ofta använd och bekväm metod är att bestämma den partikulära lösningen med en ansats, det vill säga, sätta upp ett uttryck för lösningen, där vissa obestämda element ingår och sedan bestämma dessa genom insättning.

  •  
Om   är ett polynom
 
görs ansatsen i form av ett polynom av grad m. Är
 
görs först substitutionen
 
i differentialekvationen.
  •  
Ansatsen är
 
om   inte är en rot till den karaktäristiska ekvationen. Är :ansatsen   en r-faldig rot, görs ansatsen
 .
  •  
Om högerledet är en exponentialekvation
 
och k ej är en rot till den karaktäristiska ekvationen, görs ansatsen
 
Har den karaktäristiska ekvationen k som r-faldig rot, blir ansatsen
 

ExempelRedigera

Lös ekvationen

 

Lösningen till den homogena ekvationen är

 

Gör ansatsen

 

Sätt in denna funktion i differentialekvationen och jämför de olika x-potenserna. Då fås

 

eller

 

Den partikulära lösningen blir

 

Allmänna lösningen till den fullständiga ekvationen är alltså

 

System av ordinära differentialekvationerRedigera

Systemet

 

De sökta funktionerna är

 

och koefficienterna

 

är funktioner av den oberoende variabeln x.

Detta system har många egenskaper gemensamma med de linjära homogena differentialekvationerna. Man får på samma sätt lösningen till det fullständiga systemet, det vill säga då högerleden är funktioner

 

av den oberoende variabeln, genom att till lösningen av det homogena systemet addera en speciell lösning till det fullständiga systemet.

Man kan också använda metoden med variation av koefficienterena.

System med konstanta koefficienterRedigera

För korthets skull behandlas här endast system med tre obekanta funktioner.

 

Man gör ansatsen

 

Då fås följande villkor:

 

För lösbarhet fordras

 

Evaluering av determinanten ger 3  -värden,

 

som för enkelhets skull antas vara olika. Till vart och ett av dessa bestäms motsvarande  -värden:

 

I var och en av dessa tre grupper kan ett värde väljas godtyckligt, till exempel

 

Allmänna lösningen blir

 

där

 

är godtyckliga konstanter.

ExempelRedigera

Lös systemet

 

Determinanten blir

 

med rötterna

 

vilket ger

 
 
 

Lösningen blir

 

BibliografiRedigera

Se ävenRedigera