Differentialekvationer av första ordningen

I differentialekvationer av första ordningen ingår en funktion och funktionens förstaderivata. Det finns flera lösningsmetoder för differentialekvationer av första ordningen, och vilken metod som används beror på av vilken typ differentialekvationen är.

Differentialekvationer med separabla variablerRedigera

En ekvation har separabla variabler när den kan skrivas om så att dess respektive variabel, inklusive differential, hamnar på varsin sida om likhetstecknet. Differentialekvationen ska alltså kunna skrivas på formen

 

För att lösa ekvationen multipliceras med   och divideras med   och därefter integreras båda leden. Detta ger

 

med (den implicita) lösningen

 

Exempel på differentialekvation med separabla variablerRedigera

Exemplet visar hur en differentialekvation med separabla variabler löses.

 

Multiplicera båda leden med  , dividera med   och integrera:

 
 

De båda konstanterna kan lika gärna skrivas som en konstant  , och därefter löses   ut:

 
 

Linjära differentialekvationerRedigera

En linjär differentialekvation av första ordningen kan skrivas på följande form, som kallas standardform:

 

För att lösa denna ekvation bestäms en funktion  , som är sådan att om ekvationen multipliceras med denna, så blir vänsterledet derivatan av produkten  . Funktionen   kallas integrerande faktor, och bestäms genom

 

Multiplicera båda leden i ekvationen med  

 

Vänsterledet är nu derivatan av produkten  

 

och lösningen på differentialekvationen är

 

Exempel på linjär differentialekvationRedigera

Exemplet visar hur man löser den linjära differentialekvationen

 

Beräkna den integrerande faktorn. Integrationskonstanten utelämnas, eftersom man senare integrerar en gång till, och får en ny konstant.

 

Multiplicera differentialekvationen med den integrerande faktorn:

 

vilket förenklas till

 

Integrera båda leden och lös därefter ut  

 
 

Bernoulli-ekvationerRedigera

En Bernoulli-ekvation kan skrivas på formen

 

Om   är 0 eller 1 är ekvationen linjär, se Linjära differentialekvationer ovan, i annat fall löses den på följande sätt:

Dividera först med   vilket ger

 

Gör substitutionen

 

och derivera   med avseende på  , med resultatet

 

Ersätt   med   i differentialekvationen

 

Denna ekvation är linjär och löses som i avsnittet Linjära differentialekvationer ovan, varefter man åter ersätter

 

för att få resultatet som en funktion i  .

Homogena ekvationerRedigera

Om högra ledet i följande differentialekvation kan uttryckas som en funktion i förhållandet  , kallas ekvationen homogen.

 

För att lösa en homogen ekvation görs substitutionen

 

Derivera   med avseende på  :

 

Sätt in i den ursprungliga ekvationen

 

Denna differentialekvation är nu en differentialekvation med separabla variabler och löses som i avsnittet ovan som behandlar sådana. Slutligen ersätter man   med   för att få svaret i de ursprungliga variablerna.

Ekvationer där högerledet är en funktion av (ax + by)Redigera

I ekvationer av denna form gör man substitutionen

 

som ger att

 

Sätt in i den ursprungliga ekvationen

 

vilket är en differentialekvation med separabla variabler och löses som i avsnittet ovan som behandlar sådana. Slutligen ersätter man   med   för att få svaret i de ursprungliga variablerna.

Ekvationer med linjära koefficienterRedigera

Ekvationer med linjära koefficienter är av formen

 

Om   är ekvationen av formen dy/dx = f(ax + by) och löses som i avsnittet ovan som behandlar sådana. Om   är ekvationen homogen och löses som i avsnittet Homogena ekvationer. I andra fall gör man följande substitutioner

 

Där   och   är konstanter som fås fram genom att lösa ekvationssystemet

 
 

De nya variablerna insatta i differentialekvationen ger den homogena ekvationen

 

som löses som i avsnittet Homogena ekvationer.

Exakta ekvationerRedigera

Alla differentialekvationer av första ordningen kan skrivas på formen

 

Denna ekvation sägs vara exakt om

 

Då är

 

Denna ekvation integreras med avseende på   vilket ger

 

som deriveras med avseende på   vilket ger

 

Ur denna funktion löses   som därefter integreras för att få  . (Vid denna integration sätts integrationskonstanten till 0, eftersom den ingår i den implicita lösningen.) Därmed är   klar, och den implicita lösningen till differentialekvationen är

 

Man kan lika gärna börja med

 

och integrera med avseende på  . Man väljer   eller   beroende på vilken som är lättast att integrera.

Om differentialekvationen inte är exakt, kan man i vissa fall multiplicera med en integrerande faktor  , som gör ekvationen exakt.

Om

 

bara beror av   är den integrerande faktorn   upphöjt till integralen med avseende på   av detta uttryck.

Om

 

bara beror av   är den integrerande faktorn   upphöjt till integralen med avseende på   av detta uttryck.

Exempel på en exakt differentialekvationRedigera

Här löses differentialekvationen

 

Först testas om ekvationen är exakt. Här är

 

vilket ger

 

Alltså är differentialekvationen exakt.

 
 
 

Alltså är

 

Detta integreras (och integrationskonstanten sätts till 0):

 
 

och den implicita lösningen är

 

Just i detta fallet kan man lösa ut   och få den explicita lösningen

 

Se ävenRedigera