Sturm–Liouvilles problem

Sturm–Liouvilles problem är det generella problemet att lösa en given linjär differentialekvation av grad 2n (där n är ett heltal), i kombination med 2n Randvillkor. Även benämnt Egenvärdesproblem.

Sturm–Liouvilles ekvation är en ordinär differentialekvation av andra graden:

${d \over dx}\left(p(x){dy \over dx}\right)+(\lambda w(x)-q(x))y=0$

Där λ är en (okänd) konstant, och p(x), q(x) och w(x) är kända funktioner, där w(x) kallas antingen densitetsfunktionen eller viktningsfunktionen. Ekvationen har vanligen flera lösningar (som fås med lämpliga randvillkor), beroende på λ. Konstanterna λ kallas egenvärden, och de motsvarande lösningarna u_λ(x) egenfunktioner. I de fall randvillkoren och w ,p och q uppfyller vissa krav så har också lösningarna till ekvationen viktiga matematiska egenskaper.

Härledning

Ekvationen uppkommer genom omskrivning av en allmän linjär andra ordningens homogen ordinär differentialekvation till självadjungerad form. En allmän andra ordningens linjär differentialoperator L kan skrivas

$L(y)(x)=a(x)y''(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)$

där y är den funktion som operatorn verkar på, x är den oberoende variabeln, samt a, b och c är tre godtyckliga funktioner av x som utgör operatorns koefficienter. I litteraturen används ofta det förkortade skrivsättet $Ly=a(x)y''+b(x)y'+c(x)y$, där man undertryckt att L formellt sett är en högre ordningens funktion som verkar på den obekanta funktionen y samt att y i sin tur har x som oberoende variabel, men det är huvudsakligen av tradition.

Den ekvation som omskrivs är konkret ekvationen att y är en egenfunktion till L, det vill säga att

$L(y)(x)=\lambda y(x)$ för alla x

för någon konstant λ. Omskrivningen består i huvudsak av att man slår ihop $y''$- och $y'$-termerna genom att multiplicera med en integrerande faktor, på samma sätt som vid lösning av linjära differentialekvationer av första ordningen. Låt $w(x)$ vara en funktion sådan att ${\frac {d}{dx}}{\bigl (}a(x)w(x){\bigr )}=b(x)w(x)$, alltså en integrerande faktor; då är

${\frac {1}{w(x)}}{\frac {d}{dx}}{\bigl (}a(x)w(x)y'(x){\bigr )}=a(x)y''(x)+b(x)y'(x)$

och $L(y)(x)=\lambda y(x)$ blir alltså ekvivalent med

${\frac {d}{dx}}{\bigl (}a(x)w(x)y'(x){\bigr )}+c(x)w(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)$

Här kan man lätt identifiera att $p(x)=-a(x)w(x)$ och $q(x)=c(x)w(x)$.

Termen självadjungerad form kommer sig av att operatorn L visar sig vara självadjungerad som operator på ett inre produktrum av funktioner om den inre produkten är viktad med funktionen w; beviset av detta består i huvudsak av två steg partiell integration, vilket kan utföras helt generellt tack vare operatorns form. Argumentet förutsätter dock att funktionerna ifråga också uppfyller lämpliga randvillkor.

Exempel

En form av Sturm–Liouvilles ekvation som ofta förekommer är:

${\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\phi (x)+\lambda \phi (x)=0,$

med randvillkoren $\phi (0)=\phi (L)=0$. Den uppkommer bland annat när man löser vågekvationen – till exempel när man vill se hur en vanlig sträng beter sig när den satts i svängning – och uppkommer också i kvantmekaniken ("partikel i låda"), och har lösningarna (innan randvillkoren applicerats):

$\phi _{\lambda }(x)=A_{\lambda }\sin({\sqrt {\lambda }}x)+B_{\lambda }\cos({\sqrt {\lambda }}x).$

Randvillkoren tillsammans med lösningen ovan leder till de ytterligare villkoren ${\sqrt {\lambda }}={\frac {\pi n}{L}}\quad$ för något heltal n, och B_λ=0. Konstanten A_λ måste sedan bestämmas på annat sätt.

Externa artiklar

• Artikel på Answers.com