Matrisexponentialfunktion

(Omdirigerad från Matrisexponential)

Matrisexponentialfunktionen är inom matematiken en utökning av exponentialfunktionen från komplexa tal till att gälla även kvadratiska matriser, så att man får en matrisfunktion.

DefinitionRedigera

Exponentialfunktionen för matriser definieras genom exponentialfunktionens Maclaurinutveckling:

 

Denna serie konvergerar för alla matriser,  

EgenskaperRedigera

  •  , för nollmatrisen 0 och enhetsmatrisen I.
  •  
  •  , där det är determinant av matrisen och tr är spåret av matrisen
  •   om   och   kommuterar.
  •   för alla inverterbara[särskiljning behövs] matriser  

BeräkningRedigera

DiagonalmatriserRedigera

Om D är diagonal med diagonelelementen   är   en diagonalmatris med diagonalelementen  , dvs:

 
 

Detta kommer av att en diagonalmatris upphöjt till något tal blir en diagonalmatris med diagonalementen upphöjda till detta tal (vilket inses lätt om man tänker på hur matrismultiplikation funkar). Man kan då betrakta Maclaurinutvecklingen av matrisen varje diagonalelement för sig, vilket per definition blir   för diagonalelementet x.

Nilpotenta matriserRedigera

Om N är en nilpotent matris, dvs   för något heltal k, definieras   som:

 

Dvs, Maclaurinutvecklingen av   tills att det bara blir nollmatriser.

GeneraliseringRedigera

Om matrisen har element som är reella eller komplexa tal kan man använda Jordans normalform för att beräkna   för alla kvadratiska matriser A. En kvadratisk matris kan då skrivas   där J är en matris på Jordans normalform. Matrisen J kan skrivas   för en diagonal matris D och en nilpotent matris N. Så att:

 

Se ävenRedigera