Partitionsfunktion (statistisk fysik)

(Omdirigerad från Tillståndssumma)

En partitionsfunktion eller tillståndssumma (ofta betecknat Z eller Q) beskriver statistiska egenskaper hos ett system i termodynamisk jämvikt. Partitionsfunktionen är en summa eller integral över alla möjliga tillstånd i systemet[1] och beror på tillståndsfunktioner som temperatur och volym. De flesta variabler i ett system, t.ex. entalpi, Gibbs fria energi, entropi och tryck kan uttryckas med hjälp av partitionsfunktionen. Varje partitionsfunktion är knuten till en statistisk ensemble; man talar t.ex. om den kanoniska partitionsfunktionen och den storkanoniska partitionsfunktionen.

Härledning[2]Redigera

Vi utgår från den generella entropidefinitionen,

 

där   är Boltzmanns konstant och   sannolikheten för att systemet är i tillstånd  , och gör följande antaganden:

(1)   (Systemet befinner sig i något tillstånd)

(2)  (Medelvärdet av energin är bevarad)

För ett system i jämvikt är entropin   maximerad. Vi vill nu optimera   med inskränkningarna (1) och (2) ovan med Lagranges multiplikatormetod och inför parametrarna   och   för dessa två. Det är praktiskt att göra beräkningarna med dimensionslösa storheter, så vi optimerar  .

Vi bildar Lagrangefunktionen  

(3)  .

Minimering av denna med avseende på sannolikheten för tillstånd   ger

(4)  

(5)  

och lösningarna ges av denna ekvation under villkoren (1) och (2). Vi kan identifiera tillståndssumman  , vilket genom kombination med (2) ger

(6)  

Här ser vi att   är en summa över tillstånd.

För att ta reda på vad   är behöver vi göra några steg till. Från (2) och (5) har vi

(7)  .

Insättning av (5) och (6) i generella entropidefinitionen ger

(8)  .

Vi bildar differentialen till S,

(9)  .

Från definitionen av temperatur fås då

(10)  .

  är alltså proportionell mot inversen av temperaturen.

Kanoniska partitionsfunktionenRedigera

En kanonisk ensemble kännetecknas av att antalet partiklar, volym och temperatur är konstanta. Konstant temperatur upprätthålls genom att systemet är i termisk kontakt med ett värmebad som antas vara mycket större än systemet. Om system och värmebad är klassiska och att de antar diskreta tillstånd kan man visa att sannolikheten   för att systemet ska befinna sig i ett tillstånd med energi   är proportionell mot  . Eftersom summan av sannolikheten för alla tillstånd ska bli 1 följer då att

 

där

 

är partitionsfunktionen. Denna beror i detta fall explicit av temperaturen och implicit, via energierna, av andra tillståndsvariabler.

Om systemet istället är kontinuerligt kan partitionsfunktionen skrivas som

 

där   är Plancks konstant,   är systemets hamiltonian,   är generaliserade lägeskoordinater och   är generaliserade rörelsemängder.

Partitionsfunktioner för delsystemRedigera

Om ett system kan delas upp i   delsystem med försumbar växelverkan, kan den totala partitionsfunktionen skrivas som produkten av delsystemens partitionsfunktioner  ,

 .

Om delsystemen har samma egenskaper och urskiljbara, som t.ex. i en kristall, fås

 

Om delsystemen inte är urskiljbara, vilket t.ex. gäller för molekyler i en gas, behöver produkten delas med   för att inte räkna samma mikrotillstånd flera gånger, så

 .

KällorRedigera

  1. ^ ”Partitionsfunktion”. Nationalencyklopedin. http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/partitionsfunktion. Läst 7 augusti 2016. 
  2. ^ ”The Boltzmann distribution | The Theoretical Minimum” (på en). theoreticalminimum.com. https://theoreticalminimum.com/courses/statistical-mechanics/2013/spring/lecture-4. Läst 26 juni 2018.