Konstruktion av en icke-mätbar mängd

Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om mätbarhet.

Inom det matematiska området måtteori kan det visas att det finns mängder som inte kan tilldelas ett n-dimensionellt Lebesguemått på ett rimligt sätt. Dessa mängder saknar längd, area eller volym.

Denna artikel skall nu visa att ett sådant mått inte finns genom att konstruera en speciell mängd och härleda en motsägelse.

KonstruktionRedigera

Vi skall konstruera en icke-mätbar delmängd av  .

Vi börjar med att definiera en ekvivalensrelation genom att   om och endast om   är ett rationellt tal.

Låt   vara en mängd som innehåller exakt ett element från varje ekvivalensklass. Urvalsaxiomet garanterar att vi kan konstruera   på detta sätt. Vidare kan vi anta att  . Vi skall visa att   inte kan vara mätbar.

Låt för alla rationella tal  

 

Det vill säga:   är alla element i   förflyttade en sträcka  . Nu gör vi följande observationer:

  •   och   är translationer av varandra, så   eftersom Lebesguemåttet är Haarmåttet,
  •  r och s är olika rationella tal.
  •   och  

Eftersom   är uppräknelig och Lebesguemåttet är sigma-additiv har vi

 .

Eftersom summan inte är ändlig måste  . Därför

 

vilket är en motsägelse. Därför N är icke Lebesguemätbar.

Nu vi vill konstruera icke-mätbar mängd i  .

Låt

 

där N är icke-mätbar i  .

Då gäller  . Eftersom projektionen är kontinuerlig är den mätbar. Därför   är icke-mätbar för alla   där   är en projektion.

Dessutom gäller

 

alltså är   icke.mätbar eftersom mätbara mängder är en sigma-algebra.

AnmärkningRedigera

Måttet   antogs vara uppräkneligt (till skillnad från ändligt) additivt. Detta antagande behövs i 1 och 2 dimensioner. För 3 och flera dimensioner behöver inte   vara uppräkneligt additiv för att icke-mätbara mängder skall existera. Detta visas till exempel av Banach-Tarskis paradox

 
Den här artikeln ingår i boken: 
Måtteori 
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.