Definiera Pochhammersymbolen :
(
a
)
0
=
1
,
(
a
)
n
=
a
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
.
.
.
(
a
+
n
−
1
)
,
n
≥
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),&&n\geq 1.\end{aligned}}}
Då definieras generaliserade hypergeometriska funktionen som
p
F
q
(
a
1
,
…
,
a
p
;
b
1
,
…
,
b
q
;
z
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
1
)
n
…
(
a
p
)
n
(
b
1
)
n
…
(
b
q
)
n
z
n
n
!
.
{\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\dots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}
Li
2
(
x
)
=
∑
n
>
0
x
n
n
−
2
=
x
3
F
2
(
1
,
1
,
1
;
2
,
2
;
x
)
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}
Q
n
(
x
;
a
,
b
,
N
)
=
3
F
2
(
−
n
,
−
x
,
n
+
a
+
b
+
1
;
a
+
1
,
−
N
+
1
;
1
)
{\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)\ }
p
n
(
t
2
)
=
(
a
+
b
)
n
(
a
+
c
)
n
(
a
+
d
)
n
4
F
3
(
−
n
a
+
b
+
c
+
d
+
n
−
1
a
−
t
a
+
t
a
+
b
a
+
c
a
+
d
;
1
)
{\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left({\begin{matrix}-n&a+b+c+d+n-1&a-t&a+t\\a+b&a+c&a+d\end{matrix}};1\right)}
L
n
(
α
)
(
x
)
=
(
α
+
1
)
n
n
!
1
F
1
(
−
n
,
α
+
1
,
x
)
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)}
J
α
(
x
)
=
(
x
2
)
α
Γ
(
α
+
1
)
0
F
1
(
;
α
+
1
;
−
1
4
x
2
)
.
{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}
Denna serie kan skrivas i sluten form som
1
F
0
(
a
;
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
a
.
{\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}
Differentialekvationen för denna funktion är
d
d
z
w
=
(
z
d
d
z
+
a
)
w
,
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}
eller
(
1
−
z
)
d
w
d
z
=
a
w
{\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw}
vars alla lösningar ges av
w
=
k
(
1
−
z
)
−
a
{\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}
där k är en konstant.
Funktioner av formen
0
F
1
(
;
a
;
z
)
{\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}
Besselfunktioner enligt formeln
J
α
(
x
)
=
(
x
2
)
α
Γ
(
α
+
1
)
0
F
1
(
;
α
+
1
;
−
1
4
x
2
)
.
{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}
Differentialekvationen för denna funktion är
w
=
(
z
d
d
z
+
a
)
d
w
d
z
{\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}
eller
z
d
2
w
d
z
2
+
a
d
w
d
z
−
w
=
0.
{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}
Denna serie förekommer i samband med exponentiella integralen Ei(z ).
Denna serie förekommer i teorin för Besselfunktioner. Den kan användas till att beräkna värden på Besselfunktioner med stora argument.
Eulers integraltransformation
redigera
Följande identitet är väldigt användbar:
A
+
1
F
B
+
1
[
a
1
,
…
,
a
A
,
c
b
1
,
…
,
b
B
,
d
;
z
]
=
Γ
(
d
)
Γ
(
c
)
Γ
(
d
−
c
)
∫
0
1
t
c
−
1
(
1
−
t
)
d
−
c
−
1
A
F
B
[
a
1
,
…
,
a
A
b
1
,
…
,
b
B
;
t
z
]
d
t
.
{\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt.}
Generaliserade hypergeometriska funktionen satisfierar
(
z
d
d
z
+
a
j
)
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
j
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
;
z
]
=
a
j
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
j
+
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
;
z
]
(
z
d
d
z
+
b
k
−
1
)
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
k
,
…
,
b
q
;
z
]
=
(
b
k
−
1
)
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
k
−
1
,
…
,
b
q
;
z
]
d
d
z
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
;
z
]
=
∏
i
=
1
p
a
i
∏
j
=
1
q
b
j
p
F
q
[
a
1
+
1
,
…
,
a
p
+
1
b
1
+
1
,
…
,
b
q
+
1
;
z
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}
Genom att kombinera dessa får man följande differentialekvation satisfierad av w = p F q :
z
∏
n
=
1
p
(
z
d
d
z
+
a
n
)
w
=
z
d
d
z
∏
n
=
1
q
(
z
d
d
z
+
b
n
−
1
)
w
.
{\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w.}
Saalschützs sats
redigera
3
F
2
(
a
,
b
,
−
n
;
c
,
1
+
a
+
b
−
c
−
n
;
1
)
=
(
c
−
a
)
n
(
c
−
b
)
n
(
c
)
n
(
c
−
a
−
b
)
n
{\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}}
Dixons identitet
redigera
Dixons identitet ger summan av en viss 3 F 2 -serie vid z =1:
3
F
2
(
a
,
b
,
c
;
1
+
a
−
b
,
1
+
a
−
c
;
1
)
=
Γ
(
1
+
a
2
)
Γ
(
1
+
a
2
−
b
−
c
)
Γ
(
1
+
a
−
b
)
Γ
(
1
+
a
−
c
)
Γ
(
1
+
a
)
Γ
(
1
+
a
−
b
−
c
)
Γ
(
1
+
a
2
−
b
)
Γ
(
1
+
a
2
−
c
)
.
{\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}
Dougalls formel är formeln
7
F
6
(
a
1
+
a
2
b
c
d
e
−
m
a
2
1
+
a
−
b
1
+
a
−
c
1
+
a
−
d
1
+
a
−
e
1
+
a
+
m
;
1
)
=
=
(
1
+
a
)
m
(
1
+
a
−
b
−
c
)
m
(
1
+
a
−
c
−
d
)
m
(
1
+
a
−
b
−
d
)
m
(
1
+
a
−
b
)
m
(
1
+
a
−
c
)
m
(
1
+
a
−
d
)
m
(
1
+
a
−
b
−
c
−
d
)
m
{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}\end{aligned}}}
där m inte är ett icke-negativt heltal och
1
+
2
a
=
b
+
c
+
d
+
e
−
m
.
{\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}
Många andra formler för speciella värden av hypergeometriska funktioner kan fås som specialfall av Dougalls formel.
Generaliseringar av Kummers transformationer och identiteter för 2 F 2
redigera
Identitet 1.
e
−
x
2
F
2
(
a
,
1
+
d
;
c
,
d
;
x
)
=
2
F
2
(
c
−
a
−
1
,
f
+
1
;
c
,
f
;
−
x
)
{\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}
där
f
=
d
(
a
−
c
+
1
)
a
−
d
.
{\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}.}
Identitet 2.
e
−
x
2
2
F
2
(
a
,
1
+
b
;
2
a
+
1
,
b
;
x
)
=
0
F
1
(
;
a
+
1
2
;
x
2
16
)
−
x
(
1
−
2
a
b
)
2
(
2
a
+
1
)
0
F
1
(
;
a
+
3
2
;
x
2
16
)
{\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}
som relaterar Besselfunktioner till 2 F 2 ; det här reducerar sig till Kummers andra formel för b = 2a :
Identitet 3.
e
−
x
2
1
F
1
(
a
,
2
a
,
x
)
=
0
F
1
(
;
a
+
1
2
;
x
2
16
)
{\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}
Identitet 4.
2
F
2
(
a
,
b
;
c
,
d
;
x
)
=
∑
i
=
0
(
b
−
d
i
)
(
a
+
i
−
1
i
)
(
c
+
i
−
1
i
)
(
d
+
i
−
1
i
)
1
F
1
(
a
+
i
;
c
+
i
;
x
)
x
i
i
!
=
e
x
∑
i
=
0
(
b
−
d
i
)
(
a
+
i
−
1
i
)
(
c
+
i
−
1
i
)
(
d
+
i
−
1
i
)
1
F
1
(
c
−
a
;
c
+
i
;
−
x
)
x
i
i
!
{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}}\end{aligned}}}
som är en ändlig summa om b-d är ett icke-negativt heltal.
Kummers relation
redigera
Kummers relation är
2
F
1
(
2
a
,
2
b
;
a
+
b
+
1
2
;
x
)
=
2
F
1
(
a
,
b
;
a
+
b
+
1
2
;
4
x
(
1
−
x
)
)
.
{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}
Clausens formel
3
F
2
(
2
c
−
2
s
−
1
,
2
s
,
c
−
1
2
;
2
c
−
1
,
c
;
x
)
=
2
F
1
(
c
−
s
−
1
2
,
s
;
c
;
x
)
2
{\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}
användes av de Branges till att bevisa Bieberbachförmodan .
Generaliseringar
redigera
Bilaterala hypergeometriska serier är en generalisering av hypergeometriska serier där summan är över alla heltal, inte bara de positiva.
Fox–Wrights funktion är en generalisering av generaliserade hypergeometriska funktionen där Pochhammersymbolerna i serien ersätts med gammafunktioner av linjära polynom av n .
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Generalized hypergeometric function , 17 februari 2014 . Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde (2010), ”Generaliserad hypergeometrisk funktion” , i Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. m.fl., NIST Handbook of Mathematical Functions MR 2723248 ISBN 978-0521192255 Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special functions ISBN 978-0-521-62321-6 Bailey, W.N. (1935). Generalized Hypergeometric Series Dixon, A.C. (1902). ”Summation of a certain series”. Proc. London Math. Soc. 35 (1): sid. 284–291. doi :10.1112/plms/s1-35.1.284 Dougall, J. (1907). ”On Vandermonde's theorem and some more general expansions”. Proc. Edinburgh Math. Soc. 25: sid. 114–132. doi :10.1017/S0013091500033642 Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series ISBN 0-521-83357-4 ISBN 0-521-35049-2 )Gauss, Carl Friedrich (1813). ”Disquisitiones generales circa seriam infinitam
1
+
α
β
1
⋅
γ
x
+
α
(
α
+
1
)
β
(
β
+
1
)
1
⋅
2
⋅
γ
(
γ
+
1
)
x
x
+
etc.
{\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}}
(på latin). Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (Göttingen) 2. http://books.google.com/books?id=uDMAAAAAQAAJ . Carl Friedrich Gauss, Werke Heckman, Gerrit; Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces ISBN 0-12-336170-2 Lavoie, J.L.; Grondin, F.; Rathie, A.K.; Arora, K. (1994). ”Generalizations of Dixon's theorem on the sum of a 3F2”. Math. Comp. 62: sid. 267–276. Miller, A. R.; Paris, R. B. (2011). ”Euler-type transformations for the generalized hypergeometric function r+2 F r+1 ”. Zeit. Angew. Math. Physik : sid. 31–45. doi :10.1007/s00033-010-0085-0 Quigley, J.; Wilson, K.J.; Walls, L.; Bedford, T. (2013). ”A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates”. Risk Analysis . doi :10.1111/risa.12035 Rathie, Arjun K.; Pogány, Tibor K. (2008). ”New summation formula for 3 F 2 (1/2) and a Kummer-type II transformation of 2 F 2 (x )” . Mathematical Communications 13: sid. 63–66. http://hrcak.srce.hr/file/37118 . Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). ”Extensions of Euler's type- II transformation and Saalschutz's theorem”. Bull. Korean Math. Soc. 48: sid. 151–156. Saalschütz, L. (1890). ”Eine Summationsformel”. Zeitschrift für Mathematik und Physik 35: sid. 186–188. Slater, Lucy Joan (1966). Generalized Hypergeometric Functions ISBN 0-521-06483-X ISBN 978-0-521-09061-2 )Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces ISBN 3-528-06925-2 
![{\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea0c89222b7e20970352e9e03c2f2717117274ca)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9e5f5589ca829bfbb3f82698f930b9006b49cd)
