Definiera Pochhammersymbolen :
(
a
)
0
=
1
,
(
a
)
n
=
a
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
.
.
.
(
a
+
n
−
1
)
,
n
≥
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),&&n\geq 1.\end{aligned}}}
Då definieras generaliserade hypergeometriska funktionen som
p
F
q
(
a
1
,
…
,
a
p
;
b
1
,
…
,
b
q
;
z
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
1
)
n
…
(
a
p
)
n
(
b
1
)
n
…
(
b
q
)
n
z
n
n
!
.
{\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\dots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}
Li
2
(
x
)
=
∑
n
>
0
x
n
n
−
2
=
x
3
F
2
(
1
,
1
,
1
;
2
,
2
;
x
)
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}
Q
n
(
x
;
a
,
b
,
N
)
=
3
F
2
(
−
n
,
−
x
,
n
+
a
+
b
+
1
;
a
+
1
,
−
N
+
1
;
1
)
{\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)\ }
p
n
(
t
2
)
=
(
a
+
b
)
n
(
a
+
c
)
n
(
a
+
d
)
n
4
F
3
(
−
n
a
+
b
+
c
+
d
+
n
−
1
a
−
t
a
+
t
a
+
b
a
+
c
a
+
d
;
1
)
{\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left({\begin{matrix}-n&a+b+c+d+n-1&a-t&a+t\\a+b&a+c&a+d\end{matrix}};1\right)}
L
n
(
α
)
(
x
)
=
(
α
+
1
)
n
n
!
1
F
1
(
−
n
,
α
+
1
,
x
)
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)}
J
α
(
x
)
=
(
x
2
)
α
Γ
(
α
+
1
)
0
F
1
(
;
α
+
1
;
−
1
4
x
2
)
.
{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}
Denna serie kan skrivas i sluten form som
1
F
0
(
a
;
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
a
.
{\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}
Differentialekvationen för denna funktion är
d
d
z
w
=
(
z
d
d
z
+
a
)
w
,
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}
eller
(
1
−
z
)
d
w
d
z
=
a
w
{\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw}
vars alla lösningar ges av
w
=
k
(
1
−
z
)
−
a
{\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}
där k är en konstant.
Funktioner av formen
0
F
1
(
;
a
;
z
)
{\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}
är relaterade till Besselfunktioner enligt formeln
J
α
(
x
)
=
(
x
2
)
α
Γ
(
α
+
1
)
0
F
1
(
;
α
+
1
;
−
1
4
x
2
)
.
{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}
Differentialekvationen för denna funktion är
w
=
(
z
d
d
z
+
a
)
d
w
d
z
{\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}
eller
z
d
2
w
d
z
2
+
a
d
w
d
z
−
w
=
0.
{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}
Denna serie förekommer i samband med exponentiella integralen Ei(z ).
Denna serie förekommer i teorin för Besselfunktioner. Den kan användas till att beräkna värden på Besselfunktioner med stora argument.
Följande identitet är väldigt användbar:
A
+
1
F
B
+
1
[
a
1
,
…
,
a
A
,
c
b
1
,
…
,
b
B
,
d
;
z
]
=
Γ
(
d
)
Γ
(
c
)
Γ
(
d
−
c
)
∫
0
1
t
c
−
1
(
1
−
t
)
d
−
c
−
1
A
F
B
[
a
1
,
…
,
a
A
b
1
,
…
,
b
B
;
t
z
]
d
t
.
{\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt.}
Generaliserade hypergeometriska funktionen satisfierar
(
z
d
d
z
+
a
j
)
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
j
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
;
z
]
=
a
j
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
j
+
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
;
z
]
(
z
d
d
z
+
b
k
−
1
)
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
k
,
…
,
b
q
;
z
]
=
(
b
k
−
1
)
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
k
−
1
,
…
,
b
q
;
z
]
d
d
z
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
;
z
]
=
∏
i
=
1
p
a
i
∏
j
=
1
q
b
j
p
F
q
[
a
1
+
1
,
…
,
a
p
+
1
b
1
+
1
,
…
,
b
q
+
1
;
z
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}
Genom att kombinera dessa får man följande differentialekvation satisfierad av w = p F q :
z
∏
n
=
1
p
(
z
d
d
z
+
a
n
)
w
=
z
d
d
z
∏
n
=
1
q
(
z
d
d
z
+
b
n
−
1
)
w
.
{\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w.}
3
F
2
(
a
,
b
,
−
n
;
c
,
1
+
a
+
b
−
c
−
n
;
1
)
=
(
c
−
a
)
n
(
c
−
b
)
n
(
c
)
n
(
c
−
a
−
b
)
n
{\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}}
Dixons identitet ger summan av en viss 3 F 2 -serie vid z =1:
3
F
2
(
a
,
b
,
c
;
1
+
a
−
b
,
1
+
a
−
c
;
1
)
=
Γ
(
1
+
a
2
)
Γ
(
1
+
a
2
−
b
−
c
)
Γ
(
1
+
a
−
b
)
Γ
(
1
+
a
−
c
)
Γ
(
1
+
a
)
Γ
(
1
+
a
−
b
−
c
)
Γ
(
1
+
a
2
−
b
)
Γ
(
1
+
a
2
−
c
)
.
{\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}
Dougalls formel är formeln
7
F
6
(
a
1
+
a
2
b
c
d
e
−
m
a
2
1
+
a
−
b
1
+
a
−
c
1
+
a
−
d
1
+
a
−
e
1
+
a
+
m
;
1
)
=
=
(
1
+
a
)
m
(
1
+
a
−
b
−
c
)
m
(
1
+
a
−
c
−
d
)
m
(
1
+
a
−
b
−
d
)
m
(
1
+
a
−
b
)
m
(
1
+
a
−
c
)
m
(
1
+
a
−
d
)
m
(
1
+
a
−
b
−
c
−
d
)
m
{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}\end{aligned}}}
där m inte är ett icke-negativt heltal och
1
+
2
a
=
b
+
c
+
d
+
e
−
m
.
{\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}
Många andra formler för speciella värden av hypergeometriska funktioner kan fås som specialfall av Dougalls formel.
Identitet 1.
e
−
x
2
F
2
(
a
,
1
+
d
;
c
,
d
;
x
)
=
2
F
2
(
c
−
a
−
1
,
f
+
1
;
c
,
f
;
−
x
)
{\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}
där
f
=
d
(
a
−
c
+
1
)
a
−
d
.
{\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}.}
Identitet 2.
e
−
x
2
2
F
2
(
a
,
1
+
b
;
2
a
+
1
,
b
;
x
)
=
0
F
1
(
;
a
+
1
2
;
x
2
16
)
−
x
(
1
−
2
a
b
)
2
(
2
a
+
1
)
0
F
1
(
;
a
+
3
2
;
x
2
16
)
{\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}
som relaterar Besselfunktioner till 2 F 2 ; det här reducerar sig till Kummers andra formel för b = 2a :
Identitet 3.
e
−
x
2
1
F
1
(
a
,
2
a
,
x
)
=
0
F
1
(
;
a
+
1
2
;
x
2
16
)
{\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}
.
Identitet 4.
2
F
2
(
a
,
b
;
c
,
d
;
x
)
=
∑
i
=
0
(
b
−
d
i
)
(
a
+
i
−
1
i
)
(
c
+
i
−
1
i
)
(
d
+
i
−
1
i
)
1
F
1
(
a
+
i
;
c
+
i
;
x
)
x
i
i
!
=
e
x
∑
i
=
0
(
b
−
d
i
)
(
a
+
i
−
1
i
)
(
c
+
i
−
1
i
)
(
d
+
i
−
1
i
)
1
F
1
(
c
−
a
;
c
+
i
;
−
x
)
x
i
i
!
{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}}\end{aligned}}}
som är en ändlig summa om b-d är ett icke-negativt heltal.
Kummers relation är
2
F
1
(
2
a
,
2
b
;
a
+
b
+
1
2
;
x
)
=
2
F
1
(
a
,
b
;
a
+
b
+
1
2
;
4
x
(
1
−
x
)
)
.
{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}
Clausens formel
3
F
2
(
2
c
−
2
s
−
1
,
2
s
,
c
−
1
2
;
2
c
−
1
,
c
;
x
)
=
2
F
1
(
c
−
s
−
1
2
,
s
;
c
;
x
)
2
{\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}
användes av de Branges till att bevisa Bieberbachförmodan .
Bilaterala hypergeometriska serier är en generalisering av hypergeometriska serier där summan är över alla heltal, inte bara de positiva.
Fox–Wrights funktion är en generalisering av generaliserade hypergeometriska funktionen där Pochhammersymbolerna i serien ersätts med gammafunktioner av linjära polynom av n .
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Generalized hypergeometric function , 17 februari 2014 .
Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde (2010), ”Generaliserad hypergeometrisk funktion” , i Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. m.fl., NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, MR 2723248 , ISBN 978-0521192255
Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special functions . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. "71". Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6
Bailey, W.N. (1935). Generalized Hypergeometric Series . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. "32". London: Cambridge University Press
Dixon, A.C. (1902). ”Summation of a certain series”. Proc. London Math. Soc. 35 (1): sid. 284–291. doi :10.1112/plms/s1-35.1.284 .
Dougall, J. (1907). ”On Vandermonde's theorem and some more general expansions”. Proc. Edinburgh Math. Soc. 25: sid. 114–132. doi :10.1017/S0013091500033642 .
Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series . Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. "96" (2nd). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83357-4 (the first edition has ISBN 0-521-35049-2 )
Gauss, Carl Friedrich (1813). ”Disquisitiones generales circa seriam infinitam
1
+
α
β
1
⋅
γ
x
+
α
(
α
+
1
)
β
(
β
+
1
)
1
⋅
2
⋅
γ
(
γ
+
1
)
x
x
+
etc.
{\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}}
” (på latin). Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (Göttingen) 2. http://books.google.com/books?id=uDMAAAAAQAAJ . (a reprint of this paper can be found in Carl Friedrich Gauss, Werke , p. 125)
Heckman, Gerrit; Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces . San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2 (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
Lavoie, J.L.; Grondin, F.; Rathie, A.K.; Arora, K. (1994). ”Generalizations of Dixon's theorem on the sum of a 3F2”. Math. Comp. 62: sid. 267–276.
Miller, A. R.; Paris, R. B. (2011). ”Euler-type transformations for the generalized hypergeometric function r+2 F r+1 ”. Zeit. Angew. Math. Physik : sid. 31–45. doi :10.1007/s00033-010-0085-0 .
Quigley, J.; Wilson, K.J.; Walls, L.; Bedford, T. (2013). ”A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates”. Risk Analysis . doi :10.1111/risa.12035 .
Rathie, Arjun K.; Pogány, Tibor K. (2008). ”New summation formula for 3 F 2 (1/2) and a Kummer-type II transformation of 2 F 2 (x )” . Mathematical Communications 13: sid. 63–66. http://hrcak.srce.hr/file/37118 .
Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). ”Extensions of Euler's type- II transformation and Saalschutz's theorem”. Bull. Korean Math. Soc. 48: sid. 151–156.
Saalschütz, L. (1890). ”Eine Summationsformel”. Zeitschrift für Mathematik und Physik 35: sid. 186–188.
Slater, Lucy Joan (1966). Generalized Hypergeometric Functions . Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X (there is a 2008 paperback with ISBN 978-0-521-09061-2 )
Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces . Braunschweig/Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2