Asymptot

Inom matematiken är en asymptot en rät linje (eller annan enkel kurva) som en funktion närmar sig allt mer när man närmar sig definitionsmängdens gränser eller vissa punkter i definitionsmängden. Huvudsakliga användningsområdet är att approximera hur en funktion uppför sig i något område (vanligen då variabeln är mycket stor, det vill säga går mot oändligheten).

Funktionen 1/x har koordinataxlarna som asymptoter.

Lodrät asymptot

Uppträder då funktionen har en pol i en punkt. Exempel inkluderar f(x) = 1 / (x ² - 1), som har en lodrät asymptot i x = 1 och en i x = - 1. f(x) = (x ³ - 1) / (x ² - 1) har bara en lodrät asymptot i x = - 1 då gränsvärdet för f(x) då x går mot - 1 från vänster och höger är oändligheten. Denna funktion har ingen asymptot i x = 1 för att dess gränsvärde är 3/2 då x går mot 1.

Med andra ord, en lodrät asymptot kan finnas i de x-värden som gör nämnaren i en funktion lika med 0. Till exempel för funktionen f(x) = 1 / (x ² - 1) så finns asymptoter i x=1 och x=-1 eftersom nämnaren då blir 1 ² - 1 = 0. Obervera att det inte måste finnas någon lodrät aymptot där nämnaren är noll. T.ex. så har inte funktionen $f(x)={\frac {\sin {(x)}}{x}}$ en lodrät asymptot i $x=0$, då $\lim _{x\rightarrow 0}={\frac {\sin {(x)}}{x}}=1$. Linjen $x=a$ är en lodrät asymptot till en funktionskurva $y=f(x)$ om.

$f(x)\rightarrow \infty \lor f(x)\rightarrow -\infty {\text{ då }}x\rightarrow a^{+}\lor x\rightarrow a^{-}$

Vågrät asymptot

Om funktionen f(x) har ett gränsvärde a då x går mot plus (minus) oändligheten, så är y = a en vågrät linje och en vågrät asymptot till f.

Med andra ord, vågräta asymptoter existerar i funktioner där täljaren och nämnaren har samma grad, till exempel f(x) = (x ² + 2) / (x ² - 1) där graden i både täljaren och nämnaren är 2; x ². Vågräta asymptoter existerar även i funktioner där nämnaren har högre grad än täljaren, till exempel f(x) = (x + 2) / (x ² - 1) där graden i nämnaren är 2; x ² och graden i täljaren är 1.

Y-värdet för asymptoten kan bestämmas genom att undersöka gränsvärdet för funktionen där x går mot oändligheten. Till exempel

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }(x+2)/(x^{2}-1)$

Sned asymptot

Funktionen 1/x + x har en sned asymptot (som den närmar sig då x går mot såväl den positiva oändligheten som den negativa).

För vissa funktioner gäller att f(x) beter sig ungefär som en linjär funktion då x går mot oändligheten. Denna linjära funktion kallas för en sned asymptot. Enklast beräknas den genom att ansätta den linjära funktionen ax + b och lösa ekvationen

$\lim _{x\to \infty }\left(f(x)-(ax+b)\right)=0$

för konstanterna a och b.

Med andra ord, sneda asymptoter existerar i funktioner där täljaren har högre grad än nämnaren, till exempel f(x) = (x ² + 2) / (x - 1) där täljarens grad är 2 och nämnarens grad är 1.

Den sneda asymptotens ekvation y = k×x+m fås genom att bestämma k-värdet (linjens lutning) genom

$k=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {f(x)}{x}}$

och sedan bestämma m-värdet (där linjen y = k×x + m skär y-axeln) genom sambandet

$m=\lim _{x\to \infty }f(x)-k\cdot x$

Asymptotiska kurvor

För att beskriva en funktions beteende för stora värden på variabeln, räcker det ibland inte med raka asymptoter. I likhet med fallet 'sned asymptot' säger man att en given kurva y = g(x) är asymptotisk till funktionen f(x) om

$\lim _{x\to \infty }\left(f(x)-g(x)\right)=0$.

Exempelvis har f(x) = x²(1 - 1 / x³) + e^-x en asymptotisk kurva i form av y = x², då x går mot positiva oändligheten.

Se även

• Rationell funktion