En central binomialkoefficient är inom matematiken ett tal på formen
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
A
n
=
(
2
n
n
)
=
1
⋅
2
⋅
3
⋯
(
2
n
−
1
)
⋅
(
2
n
)
(
1
⋅
2
⋯
n
)
⋅
(
1
⋅
2
⋯
n
)
{\displaystyle A_{n}={2n \choose n}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdots (2n-1)\cdot (2n)}{(1\cdot 2\cdots n)\cdot (1\cdot 2\cdots n)}}}
där n är ett heltal och
(
m
k
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{m \choose k}\end{matrix}}}
betecknar en binomialkoefficient . Exempelvis är
A
3
=
1
⋅
2
⋅
3
⋅
4
⋅
5
⋅
6
1
⋅
2
⋅
3
⋅
1
⋅
2
⋅
3
=
20.
{\displaystyle A_{3}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 3}}=20.}
Heltalsföljden av centrala binomialkoefficienter för n = 0, 1, 2, ... börjar 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... (talföljd A000984 i OEIS ). De centrala binomialkoefficienterna utgör den centrala kolumnen i Pascals triangel .
Alternativa representationer
redigera
En central binomialkoefficient kan skrivas med fakulteter som
A
n
=
(
2
n
)
!
(
n
!
)
2
{\displaystyle A_{n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}}
och med en semifakultet som
A
n
=
2
n
(
2
n
−
1
)
!
!
n
!
.
{\displaystyle A_{n}={\frac {2^{n}(2n-1)!!}{n!}}.}
De centrala binomialkoefficienterna är intimt förbundna med catalantalen C n som ges av
C
n
=
1
n
+
1
A
n
.
{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}A_{n}.}
Storleksuppskattning
redigera
Enligt Stirlings formel gäller
1
2
4
n
π
n
<
A
n
<
2
4
n
π
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}<A_{n}<{\sqrt {2}}{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}.}
En noggrannare olikhet är
(
2
n
n
)
=
4
n
π
n
(
1
−
c
n
n
)
där
1
9
<
c
n
<
1
8
{\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right){\text{ där }}{\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}}
för alla
n
≥
1.
{\displaystyle n\geq 1.}
Ett gränsvärde är
lim
n
→
∞
(
(
2
n
n
)
(
4
n
π
n
)
−
1
)
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left({2n \choose n}\left({\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\right)^{-1}\right)=1}
.
Samband mellan binomialkoefficienter
redigera
Ett stort antal samband mellan centrala binomialkoefficienter samt mellan centrala binomialkoefficienter och andra binomialkoefficienter kan härledas. Några exempel är:
A
n
=
4
n
−
2
n
A
n
−
1
{\displaystyle A_{n}={\frac {4n-2}{n}}A_{n-1}}
A
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
2
{\displaystyle A_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}}
∑
r
=
0
n
A
r
=
∑
i
+
j
+
k
=
n
(
i
+
j
i
)
(
j
+
k
j
)
(
k
+
i
k
)
{\displaystyle \sum _{r=0}^{n}A_{r}=\sum _{i+j+k=n}{i+j \choose i}{j+k \choose j}{k+i \choose k}}
Listan (Hubbard & Roby) innehåller fler formler av samma typ.
Talteoretiska egenskaper
redigera
Paul Erdős och Ronald Graham formulerade 1980 en förmodan att den centrala binomialkoefficienten
A
n
{\displaystyle A_{n}}
aldrig är kvadratfri för n > 4. Ett fullständigt bevis gavs 1996 av A. Granville och O. Ramare.
Wolstenholmes sats kan användas för att visa att
A
p
≡
2
mod
p
3
{\displaystyle A_{p}\equiv 2\mod p^{3}}
för alla primtal p > 3.
Genererande funktion
redigera
De centrala binomialkoefficienterna har den genererande funktionen
1
1
−
4
x
=
1
+
2
x
+
6
x
2
+
20
x
3
+
70
x
4
+
252
x
5
+
⋯
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}
Generalisering till komplexa tal
redigera
Gammafunktionen kan användas för att utvidga definitionen till komplexa tal z enligt
A
z
=
Γ
(
2
z
+
1
)
Γ
(
z
+
1
)
2
{\displaystyle A_{z}={\frac {\Gamma (2z+1)}{\Gamma (z+1)^{2}}}}
.
De centrala binomialkoefficienterna ges även av integralen
A
z
=
2
2
z
+
1
π
∫
0
∞
1
(
x
2
+
1
)
z
+
1
d
x
.
{\displaystyle A_{z}={\frac {2^{2z+1}}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1)^{z+1}}}dx.}
Serier av inversa centrala binomialkoefficienter
redigera
I allmänhet är
S
(
k
)
≡
2
∑
n
=
1
∞
1
n
k
A
n
=
k
+
1
F
k
(
1
,
…
,
1
;
⏟
k
+
1
3
2
,
2
,
…
,
2
;
⏟
k
−
1
1
4
)
{\displaystyle S(k)\equiv 2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}A_{n}}}={\,_{k+1}F_{k}}\left({\begin{matrix}\\\underbrace {1,\ldots ,1;} \\k+1\end{matrix}}\;\;{\frac {3}{2}},\;\;{\begin{matrix}\\\underbrace {2,\ldots ,2;} \\k-1\end{matrix}}\;\;{\frac {1}{4}}\right)}
där p F q betecknar en hypergeometrisk funktion . Som specialfall gäller exempelvis
S
(
0
)
=
2
π
3
+
9
27
{\displaystyle S(0)={\frac {2\pi {\sqrt {3}}+9}{27}}}
S
(
1
)
=
π
3
9
{\displaystyle S(1)={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{9}}}
S
(
2
)
=
ζ
(
2
)
3
=
π
2
18
{\displaystyle S(2)={\frac {\zeta (2)}{3}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}}
S
(
3
)
=
π
3
(
ψ
1
(
1
/
3
)
−
ψ
1
(
2
/
3
)
)
18
−
4
ζ
(
3
)
3
{\displaystyle S(3)={\frac {\pi {\sqrt {3}}\left(\psi _{1}(1/3)-\psi _{1}(2/3)\right)}{18}}-{\frac {4\zeta (3)}{3}}}
S
(
4
)
=
17
3240
π
4
{\displaystyle S(4)={\frac {17}{3240}}\pi ^{4}}
S
(
5
)
=
1
432
π
3
(
ψ
3
(
1
3
)
−
ψ
3
(
2
3
)
)
−
19
3
ζ
(
5
)
+
1
9
ζ
(
3
)
π
2
{\displaystyle S(5)={\frac {1}{432}}\pi {\sqrt {3}}\left(\psi _{3}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{3}({\tfrac {2}{3}})\right)-{\frac {19}{3}}\zeta (5)+{\frac {1}{9}}\zeta (3)\pi ^{2}}
där ζ betecknar Riemanns zetafunktion och ψ n betecknar polygammafunktionen . Fler sådana summor ges av Weisstein.
En analogisk serie är
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
k
(
2
n
n
)
=
1
2
⋅
k
+
1
F
k
(
1
,
…
,
1
⏟
k
+
1
;
3
2
,
2
,
…
,
2
⏟
k
−
1
;
−
1
4
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{k}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {1}{2}}\,\cdot \,{}_{k+1}F_{k}\left(\underbrace {1,\ldots ,1} _{k+1};{\tfrac {3}{2}},\underbrace {2,\ldots ,2} _{k-1};{\tfrac {-1}{4}}\right).}
Några specialfall av den är
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
n
)
=
1
25
(
5
+
4
5
⋅
a
r
c
c
s
c
h
(
2
)
)
=
0,372
16357638560161555577
…
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
(
2
n
n
)
=
2
5
5
⋅
a
r
c
c
s
c
h
(
2
)
=
0,430
408940964
…
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
2
(
2
n
n
)
=
2
(
a
r
c
c
s
c
h
(
2
)
)
2
=
0,463
129641154
…
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
3
(
2
n
n
)
=
2
5
ζ
(
39
)
=
0,480
82276126
…
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\binom {2n}{n}}}&={\frac {1}{25}}\left(5+4{\sqrt {5}}\cdot \mathrm {arccsch} (2)\right)&=&\,0{,}37216357638560161555577\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}\cdot \mathrm {arccsch} (2)&=&\;0{,}430408940964\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}&=2\left(\mathrm {arccsch} (2)\right)^{2}&=&\;0{,}463129641154\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {2}{5}}\zeta (39)&=&\;0{,}48082276126\ldots \end{aligned}}}
.