Central binomialkoefficient

1
1   1
1   2   1
1   3   3   1
1   4   6   4   1
1   5  10  10   5   1
1   6  15  20  15   6   1
Centrala binomialkoefficienter i Pascals triangel.

En central binomialkoefficient är inom matematiken ett tal på formen

där n är ett heltal och betecknar en binomialkoefficient. Exempelvis är

Heltalsföljden av centrala binomialkoefficienter för n = 0, 1, 2, ... börjar 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... (talföljd A000984 i OEIS). De centrala binomialkoefficienterna utgör den centrala kolumnen i Pascals triangel.

Alternativa representationerRedigera

En central binomialkoefficient kan skrivas med fakulteter som

 

och med en semifakultet som

 

De centrala binomialkoefficienterna är intimt förbundna med catalantalen Cn som ges av

 

StorleksuppskattningRedigera

Enligt Stirlings formel gäller

 

En noggrannare olikhet är

  för alla  

Ett gränsvärde är

 .

Samband mellan binomialkoefficienterRedigera

Ett stort antal samband mellan centrala binomialkoefficienter samt mellan centrala binomialkoefficienter och andra binomialkoefficienter kan härledas. Några exempel är:

 
 
 

Listan (Hubbard & Roby) innehåller fler formler av samma typ.

Talteoretiska egenskaperRedigera

Paul Erdős och Ronald Graham formulerade 1980 en förmodan att den centrala binomialkoefficienten   aldrig är kvadratfri för n > 4. Ett fullständigt bevis gavs 1996 av A. Granville och O. Ramare.

Wolstenholmes sats kan användas för att visa att

 

för alla primtal p > 3.

Genererande funktionRedigera

De centrala binomialkoefficienterna har den genererande funktionen

 

Generalisering till komplexa talRedigera

Gammafunktionen kan användas för att utvidga definitionen till komplexa tal z enligt

 .

De centrala binomialkoefficienterna ges även av integralen

 

Serier av inversa centrala binomialkoefficienterRedigera

I allmänhet är

 

där pFq betecknar en hypergeometrisk funktion. Som specialfall gäller exempelvis

 
 
 
 
 
 


där ζ betecknar Riemanns zetafunktion och ψn betecknar polygammafunktionen. Fler sådana summor ges av Weisstein.

En analogisk serie är

 

Några specialfall av den är

 .

KällorRedigera