Hypergeometriska funktionen

(Omdirigerad från Hypergeometrisk funktion)

Hypergeometriska funktionen 2F1(a,b;c;z) är en väldigt viktig speciell funktion som har flera andra speciella funktioner som specialfall.

HistoriaRedigera

Termen "hypergeometrisk serie" användes först av John Wallis 1655 i hans bok Arithmetica Infinitorum.

Hypergeometriska serier undersöktes av Leonhard Euler, men den första systematiska studien utfördes av Carl Friedrich Gauss 1813.

På 1800-talet undersökte även Ernst Kummer (1836) och Bernhard Riemann (1857) hypergeometriska serier. Riemann karakteriserade hypergeoemtriska funktionen med hjälp av en differentialekvation som den satisfierar.

DefinitionRedigera

Hypergeometriska funktionen definieras för |z| < 1 som serien

 

Den är odefinierad om c är ett icke-positivt heltal. Här är (x)n Pochhammersymbolen

 

SpecialfallRedigera

Ett stort antal matematiska funktioner kan uttryckas med hjälp av hypergeometriska funktionen. Några typiska exempel är

 

Legendrepolynomen är också specialfall:

 

Meixner–Pollaczekpolynomen:

 

Flera viktiga ortogonala polynom, såsom Jacobipolynomen, kan också skrivas med hjälp av hypergeometriska funktionen:

 

Ofullständiga betafunktionen Bx(p,q):

 

Elliptiska integraler:

 
 

Elliptiska modulära funktioner kan ibland uttryckas som inversa funktionen till ett kvot av hypergeometriska funktioner vars argument a, b, c är 1, 1/2, 1/3, ... eller 0. Exempelvis om

 

är

 

en elliptisk modulär funktion av τ.

Vissa elementära funktioner är gränsvärden av hypergeometriska funktionen:

 
 
 

IntegralformlerRedigera

Om B är betafunktionen är

 

om |z| < 1 eller |z| = 1 och båda membrum konvergerar. Formeln kan bevisas genom att utveckla (1 − zx)a i en serie med binomialsatsen och integrera termvis. Formeln upptäcktes av Euler 1748.

TransformationerRedigera

Eulers transformation är

 

som följer genom att kombinera Ptaffs transformationer

 
 

som igen följer ur Eulers integralrepresentation.

En kvadratisk transformation är

 

En kubisk transformation är

 

Värden vid speciella punkterRedigera

Gauss sats är

 

som följer genom att sätta z = 1 i Eulers integralrepresentation.

Kummers sats är

 

som följer ur Kummers kvadratiska transformationer

 

och Gauss sats genom att sätta z = −1 i första identiteten.

Gauss andra sats är

 

Baileys sats är

 

IdentiteterRedigera

 

Ett intressant specialfall av identiteten ovan är följande:

 

Gauss kedjebråkRedigera

Gauss kedjebråk är

 

KällorRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hypergeometric function, 16 november 2013.