Öppna huvudmenyn

Binär relation

relation som är tvåställig

Inom matematiken är en binär relation , mellan två mängder och , en delmängd av den cartesiska produkten mellan och :

"Binär" betyder i detta sammanhang "tvåställig". Det finns även ternära (treställiga) relationer, kvaternära (fyrställiga) relationer och så vidare – som delmängder av cartesiska produkter av tre eller fler mängder – men dessa är sällan förekommande i "vanlig" matematik. Därför används ofta relation som synonymt med binär relation.

Ett element är relaterat till ett element via relationen om det ordnade paret är ett element i mängden , det vill säga om . Istället för att skriva kan man skriva vilket utläses: ' är relaterat till via .'

Tre viktiga typer av binära relationer inom matematiken är ekvivalensrelationer, ordningsrelationer och avbildningar.

EkvivalensrelationerRedigera

En ekvivalensrelation   på en mängd   är en delmängd av den cartesiska produkten   som besitter följande tre egenskaper:

  • (Reflexivitet) Varje element   är relaterat till sig själv:  
  • (Symmetri) Elementet   är relaterat till elementet   om och endast om elementet   är relaterat till elementet  :   om och endast om  
  • (Transitivitet) Om   är relaterad till  , vilken i sin tur är relaterad till  , så är   relaterad till  :  

Ekvivalensklassen  , associerad med ett element  , är mängden av alla element   som är relaterade till  :

 

Ekvivalensklasserna   och   associerade med två distinkta element   är disjunkta mängder:

 

Vidare kan mängden   skrivas som unionen av alla dessa ekvivalensklasser:

 

Denna representation av en mängd är ofta förekommande inom matematiken: Exempelvis inom funktionalanalys är det vanligt att två element i ett  -rum identifieras om de tillhör samma ekvivalensklass.

OrdningsrelationerRedigera

Partiell ordningRedigera

Huvudartikel: Partiellt ordnad mängd

En partiell ordningsrelation (partiell ordning) R – som vi för intuitionens skull betecknar med symbolen   vilken utläses: "mindre än eller lika med" – på en mängd   är en delmängd av den cartesiska produkten   som besitter följande tre egenskaper:

  • (Reflexivitet) Varje element   är relaterat till sig själv:  
  • (Antisymmetri) Om elementet   är relaterat till elementet   och om elementet   är relaterat till elementet  , så är  :  
  • (Transitivitet) Om   är relaterad till  , vilken i sin tur är relaterad till  , så är   relaterad till z:  

Paret   säges vara en partiellt ordnad mängd.

Total ordningRedigera

Huvudartikel: Totalt ordnad mängd, se Linjär ordning

En total ordningsrelation (total ordning, linjär ordning) på en mängd   är en partiell ordningsrelation,  , som även besitter egenskapen att, för varje val av två element  , antingen är   eller  .

Paret   säges vara en totalt ordnad mängd.

VälordningRedigera

En välordning-relation (välordning, god ordning(?)) på en mängd   är en total ordningsrelation,  , som även besitter egenskapen att varje icke-tom delmängd   har ett unikt minsta element.

Paret   säges vara en välordnad mängd.

AvbildningarRedigera

En avbildning av en mängd   på en mängd   är en delmängd av den cartesiska produkten   som besitter följande egenskap:

  • Varje element   är relaterat till ett unikt element  .

För att göra associationen mellan   och det motsvarande unika elementet   tydlig, brukar man skriva

 

Själva relationen,   mellan   och   brukar skrivas

 

och utläses 'f avbildar X på Y'. Avbildningar går även under namnet funktioner, men ofta reserverar man namnet funktion till en avbildning

 

från en mängd   till mängden av komplexa tal  , eller en delmängd av de komplexa talen. Följande är synonymer för avbildning: transformation, funktionsrelation, abstrakt funktion.

En avbildning,

 

associerar inte bara enskilda element i   med enskilda element i  ; man kan även associera delmängder av   med delmängder av  : En godtycklig delmängd   associeras med bildmängden

 
Detta utläses som: 'f(A) är lika med mängden av alla element y i Y, som är sådana att det existerar ett element x i A, med egenskapen att y = f(x).' (Se artikeln om predikatlogik för mer information om den så kallade existenskvantorn  .)

Mängden   kallas för avbildningens

 

definitionsmängd och den speciella bildmängden

 

kallas avbildningens värdemängd.

Det är även möjligt att associera delmängder av   med delmängder av  : En godtycklig delmängd   associeras med den så kallade urbilden

 

Notera att dessa två sätt att associera delmängder inte är likvärdiga: Om vi låter   vara en en-punktsmängd,  , så är bildmängden

 

också en en-punktsmängd; definitionen av begreppet avbildning tvingar fram denna situation. Om vi å andra sidan låter   vara en en-punktsmängd,  , så är dess urbild

 

inte nödvändigtvis en en-punktsmängd; det kan mycket väl finnas två eller fler element i   som avbildas på elementet  .

 
Bild över en injektiv linjär funktion  

I de fall då urbilden av en en-punktsmängd är en en-punktsmängd, säger man att avbildningen   är injektiv: Varje element   i värdemängden associeras då med endast ett element   och vice versa. Ett annat sätt att uttrycka detta på är att säga att avbildningen

 

är bijektiv. (Notera att vi har ersatt mängden Y med bildmängden f(X).)

I de fall då avbildningens

 

värdemängd   sammanfaller med mängden  , det vill säga då

 

säger man att avbildningen

 

är surjektiv.

 
Bild över en surjektiv linjär funktion  

Den praktiska innebörden av begreppen injektiv och surjektivRedigera

Att en avbildning   är surjektiv innebär att det för varje element   existerar minst en lösning till ekvationen  .

Att en avbildning   är injektiv innebär att om ekvationen   har en lösning, så är den unik.

Om avbildningen   är bijektiv – både injektiv och surjektiv – så existerar det för varje element   en unik lösning   till ekvationen  .

I vardagligt språk har egentligen relation samma betydelse som den formaliserade inom mängdteori nedan. Oftast är det relationer mellan människor som avses, se till exempel släktskapsrelation. Ibland används ordet också som synonym till mellanmänskliga förhållanden eller mer allmänt om sådant som rör kärlek, samlevnad och parbildningar mellan människor.

MängdteoriRedigera

I mängdteori menas med relation en mängd av ordnade par, det vill säga ett tvåställigt predikat. Man tänker sig att objekten i de ingående paren har en viss relation till varandra. Om man till exempel från en mängd av människor plockar ut alla par (x, y) där x är far till y och samlar dessa i en mängd har man bildat relationen far. Om relationen är en tom mängd finns det inga par av objekt som står i detta förhållande till varandra. Ett specialfall av relation, när det för varje x bara finns ett element y, är funktion.

I en mer generell betydelse kan relation också vara n-ställiga predikat (med n > 1). Ettställiga predikat kallas dock normalt egenskaper och inte relationer.

Exempel på tvåställiga relationer i talteori:

Tvåställiga relationer kan klassificeras efter huruvida de har följande egenskaper:

En relation som är reflexiv, symmetrisk och transitiv är en ekvivalensrelation.
En relation som är reflexiv, antisymmetrisk och transitiv är en partialordning, se "partiellt ordnad mängd".