Primtalsfunktionen

Primtalsfunktionen är en viktig funktion inom talteori som definieras som antalet primtal mindre eller lika stora som ett tal x. Denna funktion betecknas vanligtvis som π(x) (utan någon koppling till talet π).

Historia

På 1700-talet upptäckte Gauss och Legendre att

$x/\operatorname {ln} (x)\!$

är en bra approximation för primtalsfunktionen; mer specifikt,

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1.\!$

Det här är känt som primtalssatsen; den bevisades i slutet av 1800-talet. Feltermen i approximationen har undersökts mycket och ett starkt resultat säger att

$\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1.\!$

där li(x) betecknar den logaritmiska integralfunktionen

$\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.$

Tabell av π(x), x / ln x och li(x)

Tabellen visar de tre funktionerna π(x), x / ln x och li(x) vid potenser av 10. Se även och.

x	π(x)	π(x) − x / ln x	li(x) − π(x)	x / π(x)
10	4	−0.3	2.2	2.500
102	25	3.3	5.1	4.000
103	168	23	10	5.952
104	1,229	143	17	8.137
105	9,592	906	38	10.425
106	78,498	6,116	130	12.740
107	664,579	44,158	339	15.047
108	5,761,455	332,774	754	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	7,956,589	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	99,877,775	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	222,744,644	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546

Grafen visar kvoten av primtalsfunktionen π(x) med dess två approximationer x/ln x och Li(x). Då x växer (notera att x-axeln är logaritmisk) närmar sig båda kvoten 1. Kvoten x/ln x konvergerar ovanifrån väldigt långsamt, medan kvoten för Li(x) konvergerar snabbare nedanifrån.

I Nätuppslagsverket över heltalsföljder är π(x) följden  A006880, π(x) - x / ln x är följden  A057835 och li(x) − π(x) är följden A057752. Värdet på π(10²⁴) räknades ursprungligen av J. Buethe, J. Franke, A. Jost och T. Kleinjung under antagandet av Riemannhypotesen. Den har sedan dess kontrollerats oberoende av Riemannhypotesen av D. J. Platt.

Olikheter

${\frac {x}{\ln x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\ln x}}\!$ för x ≥ 17.

Olikheten till vänster gäller för x ≥ 17 och olikheten till höger för x > 1.

$n(\ln(n\ln n)-1)<p_{n}<n{\ln(n\ln n)}\!$ för n ≥ 6.

$\forall x\geq 55,\quad {\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}$

En olikhet av Pierre Dusart är

${\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}\right)<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2.51}{(\ln x)^{2}}}\right).$

Första olikheten gäller för alla x ≥ 599 och andra för alla x ≥ 355991.

Littlewoods sats

1914 bevisade John Littlewood att det finns godtyckligt stora värden på x för vilka

$\pi (x)>\operatorname {Li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x$

och godtyckligt stora värden på x för vilka

$\pi (x)<\operatorname {Li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.$

Av det följer att differensen π(x) − Li(x) byter tecken oändligt ofta.

Riemannhypotesen

Riemannhypotesen är ekvivalent med att

$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Prime-counting function, 14 november 2013.